SCOI05互不侵犯King题解

最新推荐文章于 2023-07-22 10:09:56 发布

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#dp #状压dp

本题介绍如何在N×N的棋盘上放置K个国王，使得他们互不攻击。通过状压动态规划（DP）方法，避免搜索导致的超时，预先处理合法状态并进行状态转移。题目给出详细阶段划分、状态定义、转移方程以及初始化步骤，最后分析了时间复杂度和空间复杂度。

题目描述 Description
在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。
输入描述 Input Description
只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）
输出描述 Output Description
方案数。
样例输入 Sample Input
3 2
样例输出 Sample Output
16
数据范围及提示 Data Size & Hint
1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N
题解
本题看起来和八皇后很类似，但实际上用搜索会T掉，正确的解法是状压dp。
阶段：用行来划分阶段，每一行n个位置放国王记为1，不放记为0，一行用一个longlong进行状态压缩，每行状态数不会超过 $2^n-1$ 。如此划分阶段，转移时即可只考虑上一行和这一行。
然后可以预处理出所有合法的状态：
先对每一行，从小到大枚举状态i，若i and (i shr 1)为0则说明状态i没有出现国王在一行中相邻的情况，i合法，记录之，并记下i对应的国王数cnt[i]；
再对相邻的两行，从小到大枚举状态i，j，若i和j均合法则判断[i and j],[i and (j shr 1)], [j and (i shr 1)]，若三者均为0说明状态i和j没有出现国王在列上相邻或在对角线上相邻的情况，合法，记录之。
状态：记f[p][k][i]为前p行共放了k个国王且第p行的状态为i的方案数。
转移：枚举行数p(从2开始)，上一行的状态i和这一行的状态j，若i合法、j合法且i和j的组合合法，枚举决策k,k表示前i行放的国王数，f[p][k+cnt