【题解】NOIP-2013火柴排队

NOIP-2013火柴排队

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2

其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入输出格式

输入格式：

输入文件为 match.in。

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式：

输出文件为 match.out。

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

4
2 3 1 4
3 2 1 4

输出样例#1：

1

输入样例#2：

4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出样例#2：

2

说明

【输入输出样例说明1】

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【输入输出样例说明2】

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；

对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint

题意概要

给定两条相等长度的数字序列a[]和b[]，现在要求只能交换每一条队列中相邻的两个元素（如a[i]与a[i+1]可以交换，a[i]与b[i]则不能交换），交换次数不限，而交换或不交换所组成的序列中，求最小的$\sum_{i=1}^{n}(a[i]-b[i])^2$

这让我想到上一次为了出试题而出的神题
这题同机房dalao们都没想出来，问了同校集训队队神，过了一星期了还没回复
把这题放到博客里，dalao可以想一想，蒟蒻求解答

好了，回归正题

思路

我们可以感性地想一想，只有两列数字所在自己的列的排名相等时上面那个式子才相等，我们可以证一证：

$$\sum_{i=1}^{n}(a[i]-b[i])^2 = \sum_{i=1}^{n}a[i]^2+\sum_{i=1}^{n}b[i]^2-2 \sum_{i=1}^{n}a[i]·b[i]$$

由于$\sum_{i=1}^{n}a[i]^2+\sum_{i=1}^{n}b[i]^2$是一个常数已知量，所以只要要求$2 \sum_{i-1}^{n}a[i]·b[i]$最大即可，而那个2看起来特别讨厌，去掉也没关系，再用cy证明法

        首先
        1     3     5
        2     4     6
        可得1×2+3×4+5×6=44

        而
        5     3     1
        2     4     6
        得5×2+3×4+1×6=28

所以可以轻易地用cy证明法证明两条序列的值序相等时上述值最大，即可得题解
认识cy的人别传出去

所以我们只要将两条序列调成一致即可，但由于两条序列无先后之分，所以调整两条与只调整一条也是一样的

题做到这里，先喝杯茶，吃个包，站起来打下搏击操

继续

所以题目转化成了如何将第二条序列经过仅调整相邻元素，使得两条序列的排序相等，好像很像冒泡排序耶

那就是的，但是两条序列咋冒泡

可以将b树组的值转成a树组中存在的位置（这中间比较便捷的方式是先离散化，再扫描两条序列，用hash转换，具体见程序）

于是题目又转化为了求在一条序列中求逆序对的个数

(≥◇≤) 终于做完了

于是求逆序对的话依照个人习惯打归并或树状数组（本人打的是树状数组）

在看代码前恳请各位dalao看看我博客里的置顶的哪一题

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lb(x) (-x&x)
#define mod 99999997

const int maxn=100050;
int n,a[maxn],b[maxn],c[maxn],hash[maxn];

template <typename _Tp> inline void read(_Tp &x){
    char c11=getchar();x=0;bool booo=0;
    while(c11<'0'||c11>'9'){if(c11=='-')booo=1;c11=getchar();}
    while(c11>='0'&&c11<='9'){x=x*10+c11-'0';c11=getchar();}
    if(booo) x=-x;
    return ;
}
void init();

void pre();

void work();

int sz[maxn];
                            //以下俩函数dalao一看就知道是树状数组
inline int query(int p){int sum=0;for(int i=p;i;i-=lb(i))sum=(sum+sz[i])%mod;return sum;}

inline void insert(int p){for(int i=p;i<=n;i+=lb(i))sz[i]++;}

int lalala(){                       //求逆序对数
    int sum=0;
    for(int i=n;i;i--){sum=(sum+query(b[i]))%mod;insert(b[i]);}
    return sum;
}

int main(){
    init();
    pre();
    work();
    int aaa=lalala();
    printf("%d",aaa);
    return 0;
}

void work(){                        //将两条链按排序序号转化成一条链
    for(int i=1;i<=n;i++)hash[a[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=hash[b[i]];
}

void pre(){                         //离散化
    for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=a[i];
    sort(c+1,c+n+1);
    int m=unique(c+1,c+n+1)-c;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(c+1,c+m+1,a[i])-c;
    for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=b[i];
    sort(c+1,c+n+1);
    m=unique(c+1,c+n+1)-c;
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=lower_bound(c+1,c+m+1,b[i])-c;
}

void init(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(b[i]);
    return ;
}