53.最大子数组和 python

题目

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组
是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

1 <= nums.length <= 10^5
-10^4 <= nums[i] <= 10^4

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

题解

这个问题是经典的“最大子数组问题”（Maximum Subarray Problem），可以通过动态规划或者分治法来解决。这里我们先介绍 O(n) 时间复杂度的解决方案，即使用Kadane算法，然后再简要说明如何用分治法解决。

Kadane 算法

Kadane算法是一种高效的在线处理算法，它可以在O(n)时间内解决问题。这个算法的核心思想是在遍历数组时保持两个变量：一个用于存储当前的最大和（current_max），另一个用于存储到目前为止发现的最大和（global_max）。每当我们在数组中移动到下一个元素时，我们就决定是否将这个元素加到当前的最大和上，还是重新开始一个新的子数组。以下是Python代码实现：

def maxSubArray(nums):
    if not nums:
        return 0
    
    current_max = global_max = nums[0]
    
    for num in nums[1:]:
        # 如果 current_max <= 0, 则抛弃之前的序列，从当前元素重新开始
        # 否则，将当前元素加入到 current_max 中
        current_max = max(num, current_max + num)
        
        # 更新 global_max，如果 current_max 大于 global_max
        if current_max > global_max:
            global_max = current_max
            
    return global_max

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分治法

分治法的思想是将数组分为两半，那么最大和连续子数组只可能出现在三种情况之一：

1. 它完全位于数组的左半部分。
2. 它完全位于数组的右半部分。
3. 它跨越了数组的中间点，包含一部分左半部分和一部分右半部分。

对于前两种情况，我们可以递归地求解；对于第三种情况，我们需要从中间向两边寻找最大和。以下是分治法的大致框架：

def maxCrossingSum(nums, left, mid, right):
    # 包含中间元素的最大和，从中间向左扫描
    sum_left = float('-inf')
    sum_temp = 0
    for i in range(mid, left-1, -1):
        sum_temp += nums[i]
        if sum_temp > sum_left:
            sum_left = sum_temp

    # 包含中间元素的最大和，从中间向右扫描
    sum_right = float('-inf')
    sum_temp = 0
    for i in range(mid+1, right+1):
        sum_temp += nums[i]
        if sum_temp > sum_right:
            sum_right = sum_temp

    # 返回跨越中间的最大和
    return sum_left + sum_right

def maxSubArrayDivideAndConquer(nums, left, right):
    if left == right:  # base case: only one element
        return nums[left]

    mid = (left + right) // 2
    # 返回三者中的最大值
    return max(maxSubArrayDivideAndConquer(nums, left, mid),
               maxSubArrayDivideAndConquer(nums, mid+1, right),
               maxCrossingSum(nums, left, mid, right))

# 使用分治法求解
def maxSubArray(nums):
    return maxSubArrayDivideAndConquer(nums, 0, len(nums)-1)

这两种方法都可以有效地找到具有最大和的连续子数组，选择哪种取决于具体需求。Kadane算法简单且高效，而分治法则展示了另一种思考方式，并可以更好地理解问题的本质。

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