19、指数族数据的主成分分析：原理、应用与优化

指数族数据的主成分分析：原理、应用与优化

1. 指数族主成分分析（ePCA）基础

在指数族数据的分析中，主成分分析（PCA）的拓展形式——指数族主成分分析（ePCA）具有重要意义。传统的PCA通常假设数据服从高斯分布，通过最大化对数似然函数来找到数据的低维表示。而ePCA则将这一概念推广到指数族分布的数据上，如伯努利分布、泊松分布等。

在迭代更新过程中，有如下关键公式：
[
(Z_{k + 1}, W_{k + 1}, b_{k + 1}) = \arg \min_{Z,W,b} |ZW^T + 1b^T - M_{k + 1}| F^2
]
[
\text{s.t. } W^T W = I
]
这是一个最小二乘矩阵逼近问题，可以通过奇异值分解（SVD）轻松求解。在第 (k + 1) 次迭代中，能够得到更新 ((Z {k + 1}, W_{k + 1}, b_{k + 1})) 的闭式解，这使得MM算法比涉及梯度计算的一般方法更易于实现且计算效率更高。

算法步骤如下：
1. 初始化 (Z_0)、(W_0) 和 (b_0)。
2. 假设 (Z_k)、(W_k) 和 (b_k) 是当前的最优解。
3. 持续计算 (M_{k + 1})，并根据上述公式更新 ((Z_k, W_k, b_k)) 以找到更好的解 ((Z_{k + 1}, W_{k + 1}, b_{k + 1}))，直到对数似然函数收敛。

这个过程类似于EM算法中E步和M步之间的迭代。

2. 逻辑主成分分析（Logistic PCA）的另一种表述