18、指数族数据的主成分分析：原理、算法与应用

指数族数据的主成分分析：原理、算法与应用

在数据分析和机器学习领域，主成分分析（PCA）是一种常用的降维技术。然而，传统的PCA主要适用于高斯分布的数据。为了将PCA推广到更广泛的指数族分布数据，指数族主成分分析（ePCA）应运而生。本文将详细介绍ePCA的原理、计算算法以及一个特殊案例——逻辑主成分分析（Logistic PCA）。

1. PCA与ePCA的基本概念

1.1 PCA的概率视角

给定一组数据样本 $x_1, \ldots, x_n \in R^d$，PCA将数据投影到一个较低维度 $L (\leq d)$ 的主成分子空间中。从概率的角度来看，PCA假设数据点可以由低维潜在变量的线性投影加上高斯噪声来近似。对于每个样本 $x_i (1 \leq i \leq n)$，给定其对应的潜在变量向量 $z_i$ 位于主成分子空间中，我们有：
$x_i = Wz_i + b + \varepsilon$
其中，$W$ 是主载荷矩阵，其列张成主成分（PC）子空间；$b$ 是偏置向量；$\varepsilon$ 服从高斯分布 $N(0, \sigma^2I)$。

PCA可以被表述为一个优化问题，即最大化给定数据集关于模型参数 $z_i, W$ 和 $b$ 的对数似然。这等价于最大化以下目标函数：
$\sum_{i} -||x_i - (Wz_i + b)||^2$
约束条件为：
$W^T W = I$

这个问题实际上等价于最小化原始数据点到其在主成分子空间中投影的欧几里得距离之和，这正是PCA的最小偏差解释。

1.2 指数族PCA

从概率的角度