17、非自治随机方程的周期与概周期随机惯性流形研究

非自治随机方程的周期与概周期随机惯性流形研究

1. 研究背景与引入

在随机方程的研究领域，随机惯性流形（IM）是一个重要的概念。对于非自治随机方程，其研究相较于自治随机方程更为复杂。考虑如下非自治随机方程：
[
\frac{du}{dt} + Au = F(u) + g(t) + \frac{dW}{dt}, \quad u(\tau) = u_{\tau}
]
其中，(A : D(A) \subseteq H \to H) 是对称正算子且逆算子紧致，(F) 是非线性项，(g) 是与时间相关的外部强迫项，(W) 是 (H) 值维纳过程。当 (g) 不依赖于时间时，方程为自治随机方程，已有专家对自治随机系统的 IM 进行了研究。而对于 (g) 随时间变化的非自治情况，相关研究较少。

非自治随机方程的 IM 不仅由 (\omega \in \Omega) 参数化，还与初始时间 (\tau \in \mathbb{R}) 有关。具体来说，它是一个有限维的 Lipschitz 流形 (M = {M(\tau, \omega) : \tau \in \mathbb{R}, \omega \in \Omega})，具有不变性且能指数吸引所有解。

2. 相关概念与定义

• 随机动力系统与上循环 ：假设 (X) 是具有范数 (|\cdot|) 的可分 Banach 空间，((\Omega, \mathcal{F}, P, {\theta_t}_{t \in \mathbb{R}})) 是一个度量动力系统。设 (\Phi: \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \