18、随机惯性流形与精确广义过程的性质研究

随机惯性流形与精确广义过程的性质研究

1. 随机惯性流形的周期性与概周期性

在研究随机惯性流形时，我们关注外部函数 (g) 的周期性和概周期性对随机惯性流形的影响。
1. 概周期性定理 ：假设相关条件成立，且 (g : R →D(Aα)) 是概周期的，那么存在一个概周期的随机惯性流形 (M (τ, ω))。
- 证明过程：由于 (g) 的概周期性，对于任意的 (\epsilon > 0)，存在正数 (l = l(\epsilon))，使得长度为 (l) 的任意区间都包含一个点 (\tau_0)，满足 (|g(r + \tau_0) - g(r)| {D(Aα)} \leq \frac{1}{2}\epsilon(1 - k)\lambda_n) 对所有 (r \in R) 成立。基于此，我们可以证明 (\sup {x\in P_n H} |\ m(\tau + \tau_0, ω)(x) - \ m(\tau, ω)(x)|_{D(Aα)} \leq \epsilon) 对所有 (\tau \in R) 成立。
2. 周期性定理 ：若 (g : R →D(Aα)) 是周期为 (T > 0) 的周期函数，那么存在一个 (T) - 周期的随机惯性流形 (M (τ, ω))。
- 证明过程：通过类似的论证，我们可以得到 (|\xi^ (x, ω, τ + T) - \xi^ (x, ω, τ)|_S \leq k|\xi^ (x, ω, τ + T) - \xi^ (x, ω, τ)|_S)。因为 (k \in (0, 1))，所以