13、含对数势的广义Cahn - Hilliard方程及多值过程吸引子研究

含对数势的广义Cahn - Hilliard方程及多值过程吸引子研究

含对数势的广义Cahn - Hilliard方程

在研究含对数势的广义Cahn - Hilliard方程时，我们先考虑如下近似问题：
[
\begin{cases}
\frac{\partial u_{\epsilon}}{\partial t}+\Delta^{2}u_{\epsilon}-\Delta f_{\epsilon}(u_{\epsilon}) + g(u_{\epsilon}) = 0 \
u_{\epsilon}=\Delta u_{\epsilon}=0 \text{ on } \Gamma \
u_{\epsilon}| {t = 0}=u {0}
\end{cases}
]
这里，我们用((( \cdot, \cdot)))表示通常的(L^{2}) - 标量积，相关的范数为(|\cdot|)。同时，定义(|\cdot| {-1}=|(-\Delta)^{-\frac{1}{2}}\cdot|)，其中((-\Delta)^{-1})是与狄利克雷边界条件相关的负拉普拉斯算子的逆，该范数等价于通常的(H^{-1}) - 范数，(H^{-1}(\Omega))是(H {0}^{1}(\Omega))的拓扑对偶空间。一般地，(|\cdot|_{X})表示巴拿赫空间(X)上的范数。

先验估计

• 第一步改写方程 ：将上述方程改写为形式上等价的形式
  [
  (-\Delta)^{-1}\frac{\partial