3D空间表征基础

最新推荐文章于 2025-12-02 17:40:07 发布

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本文所指三维空间中的表征默认是在一组单位正交基构成的右手系下所进行的欧氏变换。欧氏变换（刚性变换）：改变物体的空间位置，不改变形状、大小，包括旋转变换和平移变换。

向量表征和基本运算

空间中的点/向量可以表征为 $a⃗=[e⃗1,e⃗2,e⃗3][a1,a2,a3]T\vec a=[\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3][a_1, a_2, a_3]^T$

向量点积
$a⃗⋅b⃗=a⃗Tb⃗=∑i=13aibi=∣a⃗∣∣b⃗∣cos<a⃗,b⃗>\vec a \cdot \vec b =\vec a^T \vec b = \sum_{i=1}^{3}{a_i b_i} = |\vec a||\vec b|cos<\vec a, \vec b>$

向量叉积
$b⃗\vec a \times \vec b = {\begin{Vmatrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{Vmatrix}} = \vec a \ \^{} \ \vec b$ , $ˆ\vec a \ \^{}$ 是用 $a⃗\vec a$ 构建的一个反对称矩阵，对角线上元素从左到右从上到下依次为 $a_3, a_2, -a_1$ 。

刚体运动可以用欧式变换来表征，尺度、各个面的角度等性质不会变。欧氏变换包括旋转和平移

旋转变换

给定两组单位正交基 $[e⃗1,e⃗2,e⃗3],[e⃗1′,e⃗2′,e⃗3′][\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3], [\vec e_1', \vec e_2', \vec e_3']$ ，表征了两个原点重合的坐标系。
同一向量在两组基下的表征分别为 $[e⃗1,e⃗2,e⃗3][a1,a2,a3]T=[e⃗1′,e⃗2′,e⃗3′][a1′,a2′,a3′]T[\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3][a_1, a_2, a_3]^T = [\vec e_1', \vec e_2', \vec e_3'][a_1', a_2', a_3']^T$ ，式两边同时左乘 $[e⃗1,e⃗2,e⃗3]T[\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3]^T$ 可以自然得到旋转矩阵表征，矩阵 $R\bold R$ 表征了从坐标系2到坐标系1的旋转变换。由于是单位正交基，等式左边前面左乘的结果为单位矩阵，等式右边矩阵的结果
$\bold R=\begin{bmatrix} e_1^Te_1' & e_1^Te_2' & e_1^Te_3' \\ e_2^Te_1' & e_2^Te_2' & e_2^Te_3' \\ e_3^Te_1' & e_3^Te_2' & e_3^Te_3' \end{bmatrix}$
由于是两组单位正交基，得到的结果为各轴之间的夹角，并且 $det(R)=1det(\bold R) = 1$ 。

要反过来得到 $R−1\bold R^{-1}$ ，只需要对原式两边左乘 $[e⃗1′,e⃗2′,e⃗3′]T[\vec e_1', \vec e_2', \vec e_3']^T$ ，得到 $[e⃗1′,e⃗2′,e⃗3′]T[e⃗1,e⃗2,e⃗3]=RT[\vec e_1', \vec e_2', \vec e_3']^T [\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3] = \bold R^T$ ，故旋转矩阵 $R\bold R$ 为正交矩阵。
旋转矩阵所在的集合为特殊正交群
$\{R\in|\bold R\bold R^T = \bold I, det(\bold R) = 1\}$

平移变换

两个不重合的坐标系，在坐标系1下坐标系1到坐标系2原点的向量为 $t_{12}$ ，坐标系2到坐标系1的旋转变换为 $R_{12}$ ，则
$a1=R12a12+t12a_{1} = \bold R_{12}a_{12}+\bold t_{12}$
扩展为齐次坐标的四维向量，则变换矩阵可以表征为
$T=\begin{bmatrix} \bold R & \bold t \\ \bold 0 & 1 \\ \end{bmatrix}, \bold R \in \mathbb{R}^{3\times 3}, \bold t \in \mathbb{R}^3$
变换 $a1=Ta2\bold a_1 = \bold T \bold a_2$
$T\bold T$ 所在的集合为特殊欧式群 $SE (3)$