Leetcode215. 数组中的第K个最大元素

Leetcode215. 数组中的第K个最大元素

题目：
给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。
请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例 1:

输入: [3,2,1,5,6,4], k = 2
输出: 5

示例 2:

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6], k = 4
输出: 4

题解：
运用快速排序的方法：
首先我们来回顾一下快速排序，这是一个典型的分治算法。我们对数组 $a[l\cdots r]$做快速排序的过程是：

• 分解： 将数组 $a[l\cdots r]$ 「划分」成两个子数组 $a[l\cdots q-1]、a[q+1\cdots r]$，使得 $a[l\cdots q-1]$ 中的每个元素小于等于$a[q]$，且 $a[q]$ 小于等于 $a[q+1\cdots r]$ 中的每个元素。其中，计算下标 $q$ 也是「划分」过程的一部分。
• 解决： 通过递归调用快速排序，对子数组 $a[l\cdots q-1]$ 和 $a[q+1\cdots r]$ 进行排序。
• 合并： 因为子数组都是原址排序的，所以不需要进行合并操作，$a[l\cdots r]$ 已经有序。

上文中提到的 「划分」 过程是：从子数组 $a[l\cdots r]$ 中选择任意一个元素 $x$ 作为主元，调整子数组的元素使得左边的元素都小于等于它，右边的元素都大于等于它， $x$ 的最终位置就是 $q$。
由此可以发现每次经过「划分」操作后，我们一定可以确定一个元素的最终位置，即 $x$ 的最终位置为 $q$，并且保证 $a[l\cdots q-1]$ 中的每个元素小于等于 $a[q]$，且 $a[q]$ 小于等于 $a[q+1\cdots r]$ 中的每个元素。所以只要某次划分的 $q$ 为倒数第 $k$ 个下标的时候，我们就已经找到了答案。 我们只关心这一点，至于 $a[l\cdots q-1]$ 和 $a[q+1\cdots r]$ 是否是有序的，我们不关心。

因此我们可以改进快速排序算法来解决这个问题：在分解的过程当中，我们会对子数组进行划分，如果划分得到的 $q$ 正好就是我们需要的下标，就直接返回 $a[q]$；否则，如果 $q$ 比目标下标小，就递归右子区间，否则递归左子区间。这样就可以把原来递归两个区间变成只递归一个区间，提高了时间效率。这就是「快速选择」算法。

我们知道快速排序的性能和「划分」出的子数组的长度密切相关。直观地理解如果每次规模为 $n$ 的问题我们都划分成 $1$ 和 $n-1$，每次递归的时候又向 $n-1$ 的集合中递归，这种情况是最坏的，时间代价是 $O(n^2)$。我们可以引入随机化来加速这个过程，它的时间代价的期望是 $O(n)$。

java代码：

 public static int findKthLargest(int[] nums, int k) {
        int len = nums.length;

        return quickSelect(nums, 0, len - 1, len - k);

    }

    private static int quickSelect(int[] nums, int low, int high, int k) {
        if (nums.length == 0 || low < 0 || high > nums.length - 1 || low > high) return 0;
        int i = low;
        int j = high;
        int base = nums[i];
        while (i < j) {
            while (base <= nums[j]) {
                j--;
            }
            while (base >= nums[i]) {
                i++;
            }

            if (i < j) {
                int tmp = nums[i];
                nums[i] = nums[j];
                nums[j] = tmp;
            }
        }

        nums[low] = nums[j];
        nums[j] = base;

        if (j > k) {
            return quickSelect(nums, low, j - 1, k);
        } else if (j < k) {
            return quickSelect(nums, j + 1, high, k);
        } else {
            return base;
        }
    }