Leetcode221. 最大正方形-优快云博客

本文介绍了解决LeetCode221.最大正方形问题的一种动态规划方法。通过构建dp数组来记录以各个位置为右下角的最大正方形边长，利用上方、左方和左上方三个位置的状态来更新当前位置的状态。

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Leetcode221. 最大正方形

题目：
在一个由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的二维矩阵内，找到只包含 ‘1’ 的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：
在这里插入图片描述

输入：matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]
输出：4

示例 2：

输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]
输出：1

示例 3：

输入：matrix = [["0"]]
输出：0

题解：
可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 表示以 (i, j)(i,j) 为右下角，且只包含 11 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 11 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算 $d p$ 中的每个元素值呢？对于每个位置 $(i, j)$ ，检查在矩阵中该位置的值：

如果该位置的值是 0，则 $d p (i, j) = 0$ ，因为当前位置不可能在由 1组成的正方形中；
如果该位置的值是 1，则 $d p (i, j)$ 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 $d p$ 值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 1，状态转移方程如下：

$d p (i, j) = min (d p (i - 1, j), d p (i - 1, j - 1), d p (i, j - 1)) + 1$

此外，还需要考虑边界条件。如果 $i$ 和 $j$ 中至少有一个为 $0$ ，则以位置 $(i, j)$ 为右下角的最大正方形的边长只能是 1，因此 $d p (i, j) = 1$ 。

java代码：

 /**
     * 动态规划
     *
     * dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1
     * @param matrix
     * @return
     */
    public static int maximalSquare(char[][] matrix) {

        int maxSize = 0;
        if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) return maxSize;

        int row = matrix.length;
        int col = matrix[0].length;

        int[][] dp = new int[row][col];

        for (int i = 0; i < row; i++) {
            for (int j = 0; j < col; j++) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    if (i == 0 || j == 0) {
                        dp[i][j] = 1;
                    } else {
                        dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1])) + 1;
                    }
                    maxSize = Math.max(maxSize, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return maxSize * maxSize;
    }