#线性筛#洛谷 1445 [violet] 樱花

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本文详细解析了如何求解方程1/x+1/y=1/n!的正整数解的组数问题。通过通分、十字相乘法配方等数学技巧，将问题转化为求(n!)^2的约数个数。并给出了具体的算法实现，包括线性筛质数和求约数个数的方法。

题目

求方程 $1x+1y=1n!\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$ 的正整数解的组数

分析

通分得到
$x+yxy=1n!\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}$
那么 $(x + y) n! = x y$
那么 $x y - (x + y) n! = 0$
通过十字相乘法的配方，两边同加 $n!)^2$
所以 $n!)^2-(x+y)n!+xy=(n!)^2$
所以 $n!-x)(n!-y)=(n!)^2$
那也就是求 $n!)^2$ 的约数个数
首先要线性筛把质数求出来，然后若
$(n!)2=p1c1×p2c2×⋯×pncn(n!)^2=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \dots \times p_n^{c_n}$
答案为 $∏2∗ci+1\prod 2*c_i+1$

代码

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
typedef unsigned uit;
const uit mod=1000000007;
uit n,v[1000001],prime[1000001],cnt; long long ans=1;
signed main(){
    scanf("%u",&n);
    for (rr uit i=2;i<=n;++i){
        if (!v[i]) v[i]=prime[++cnt]=i;
        for (rr uit j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;++j){
            v[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    for (rr uit i=1;i<=cnt;++i){
        rr long long tot=0,j=prime[i];
        for (;j<=n;tot+=n/j,j=j*prime[i]);
        ans=ans*(tot<<1|1)%mod;
    }
    return !printf("%lld",ans);
}