#快速幂，eratosthenes筛#bzoj 3930 洛谷 3172 选数

最新推荐文章于 2025-02-17 21:48:17 发布

lemondinosaur

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分类专栏：容斥定理线性dp 文章标签： bzoj 3930 洛谷 3172 选数

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容斥定理

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本文探讨了从指定区间内选择整数，使得这些整数的组合最大公约数等于给定值的方案数量。通过数学分析和算法设计，详细解释了如何在考虑枚举因数的情况下，高效计算出满足条件的组合总数。

题目

从区间 $[l∼r][l\sim r]$ 中选取 $n$ 个整数，总共有 $r-l+1)^n$ 种方案。问最大公约数刚好为 $k$ 的选取方案有多少个。

分析

那么也就是在求 $[⌈lk⌉∼⌊rk⌋]中选取[\lceil\frac{l}{k}\rceil\sim\lfloor\frac{r}{k}\rfloor]中选取$ n $个整数, 最大公约数刚好为 1 的选取方案数$
那么之后怎么做呢，因为 $r - l$ 比较小，所以说可以选择枚举因数 $i$ ，那么缩小的范围就变为 $[⌈⌈lk⌉i⌉∼⌊⌊rk⌋i⌋][\lceil\frac{\lceil\frac{l}{k}\rceil}{i}\rceil\sim\lfloor\frac{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}{i}\rfloor]$ ，那么其中的数就是对于因数为 $i$ 时，范围内除以 $i$ 的数,设 $d p [i]$ 为选取的数公因数是 $i$ 的个数，那么 $dp[i]=(⌊⌊rk⌋i⌋−⌈⌈lk⌉i⌉+1)n−(⌊⌊rk⌋i⌋−⌈⌈lk⌉i⌉+1)dp[i]=(\lfloor\frac{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}{i}\rfloor-\lceil\frac{\lceil\frac{l}{k}\rceil}{i}\rceil+1)^n-(\lfloor\frac{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}{i}\rfloor-\lceil\frac{\lceil\frac{l}{k}\rceil}{i}\rceil+1)$
那问题是我们求的是1，那可以干什么呢，我们枚举i的倍数， $dp[i]−=∑j=2xdp[ij]dp[i]-=\sum_{j=2}^{x}dp[ij]$ ，这样就可以求出最大公因数是 $i$ 的个数，时间复杂度 $O(2×(r−l)log⁡2(r−l))O(2\times (r-l)\log_2(r-l))$

代码

#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
const int mod=(int)1e9+7;
int n,k,l,r,dp[100001];
inline signed ksm(long long x,int y){
    rr long long ans=1;
    while (y){
        if (y&1) (ans*=x)%=mod;
        (x*=x)%=mod; y>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&r);
    l=l/k+(l%k>0),r/=k;
    if (l>r) return !putchar(48);
    for (rr int i=1;i<=r-l;++i){
        rr int L=l/i+(l%i>0),R=r/i;
        if (L>R) break;
        dp[i]=(ksm(R-L+1,n)-R+L-1+mod)%mod;
    }
    for (rr int i=r-l;i;--i)
    for (rr int j=2;i*j<=r-l;++j)
    (dp[i]-=dp[i*j]-mod)%=mod;
    if (l==1) (++dp[1])%=mod;//如果最后扩散到的范围在1上，那么1要多加
    return !printf("%d",dp[1]);
}