#扩展欧几里得算法，快速乘#洛谷 4777 poj 2891 【模板】扩展中国剩余定理

解同余方程组：最小非负整数解的求法

最新推荐文章于 2024-08-04 10:00:00 发布

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本文介绍了一种解决特定形式同余方程组的方法，即求解一系列形如x ≡ bi (mod ai)的方程组的最小非负整数解。通过扩展欧几里得算法和快速乘法，文章提供了一个高效的算法实现，适用于ai不互质的情况。

题目

给定 $n$ 组非负整数 $a_i, b_i$ ,求解关于 $x$ 的方程组
$x≡b1(mod  a1)x\equiv b_1(\mod a_1)$
$x≡b2(mod  a2)x\equiv b_2(\mod a_2)$ $⋯\cdots$
$x≡bn(mod  an)x\equiv b_n(\mod a_n)$
的最小非负整数解

分析

虽然题目好像是中国剩余定理，但是 $a$ 数组不满足互质，必然是需要其它的方法，那么就可以用扩欧，跑n遍，因为要求最小，所以需要求最小公倍数，然后其实就没什么了

代码

#include <cstdio>
#define rr register
typedef long long ll;
ll in(){
	ll ans=0; char c=getchar();
	while (c<48||c>57) c=getchar();
	while (c>47&&c<58) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
void print(ll ans){
	if (ans>9) print(ans/10);
	putchar(ans%10+48);
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//扩欧
	if (!b) {x=1; y=0; return a;}
	else{
		rr ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x; return d;
	}
}
ll ksm(ll x,ll y,ll mod){//快速乘
	ll ans=0;
	while (y){
		if (y&1) ans=(ans+x)%mod;
		x=(x+x)%mod; y>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	rr int n;
	while (scanf("%d",&n)==1){
		rr ll a=in(),ans=in(); rr bool flag=1;
		while (--n){
			rr ll b=in(),c=in();
			if (!flag) continue;
			c=(c-ans%b+b)%b; rr ll x,y,mod;//求出新的答案
			rr ll d=exgcd(a,b,x,y); mod=b/d;//扩欧
			if (c%d) {flag=0; continue;}//不可能
			x=ksm(x,c/d,mod);//快速乘
			ans+=x*a; a*=mod; ans=(ans%a+a)%a;//求最小非负整数解
		}
		if (!flag) putchar('-'),putchar(49);
		else if (ans) print(ans); else putchar(48); putchar(10);
	}
}