#整除分块#洛谷 2424 约数和

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本文介绍了一种求解从x到y范围内所有整数的约数和的高效算法。利用整除分块技术和等差数列求和公式，避免了时间限制错误(TLE)。代码实现使用C++，通过前缀和的方法快速得出结果。

题目

设 $f (x)$ 表示为x的约数和，求 $f (x) + \dots \dots + f (y)$

分析

TLE警告，所以说要换一种方式求答案。
首先前缀和这个毋庸置疑，枚举约数，对于 $d$ ，共有 $⌊nd⌋\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$ 种方法，那么对于 $d$ ，约数和就是 $⌊nd⌋×d\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\times d$
那么 $⌊nd⌋\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$ 只有 $2n2\sqrt n$ 种取值，所以可以用整除分块+等差数列求解

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
long long sum(int n){
    long long ans=0;
    for(long long l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l);
        ans+=(n/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;
    }
    return ans;
}
int main() {
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    printf("%lld\n",sum(y)-sum(x-1));
    return 0;
}