SSL 2386 序列#线性动态规划#

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本文详细解析了一道关于数字组合的动态规划(DP)算法竞赛题。通过逆推和顺推两种方法阐述了状态转移方程，即如何计算第j位的数字为i的方案数量，并提供了完整的代码实现。

比赛

题目

这里写图片描述

分析

dp，状态转移方程： $f [i] [j] 表示第 j 位的数字是 i 的方案$
$f [i] [j] + = f [(i 的因数)] [j - 1] （逆推）$
$f[i*(1 _{to}n/j)][j]+=f[i][j-1](顺推)$

逆推代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
struct node{int x,y,next;}e[100001];
int f[2002][2002],n,m,k,ans,ls[2001];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	for (int j=1;j<=i;j++)
	if (i%j==0) e[++m].x=i,e[m].y=j,e[m].next=ls[e[m].x],ls[e[m].x]=m;//邻接表优化
	for (int j=2;j<=k;j++)
	for (int i=1;i<=n;i++){
	int t=ls[i];
	while (t){
		f[i][j]=(f[i][j]+f[e[t].y][j-1])%1000000007;
		t=e[t].next;
	}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[i][k])%1000000007;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

顺推代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define p 1000000007
using namespace std;
int f[2002][2002],n,m,ans;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=1;
	for (int j=2;j<=m;j++)
	for (int i=1;i<=n;i++)
	for (int k=1;k<=n/i;k++) f[i*k][j]=(f[i][j-1]+f[i*k][j])%p;
	for (int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[i][m])%p;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}