计算几何小记

前言

只会平面几何


平面几何

两点间的距离公式

两点的坐标分别为 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P 1 P_1 P1 P 2 P_2 P2两点间的距离为$ d = ( ∣ x 1 − x 2 ∣ ) 2 + ( ∣ y 1 − y 2 ∣ ) 2 d=\sqrt{(|x_1-x_2|)^2+(|y_1-y_2|)^2} d=(x1x2)2+(y1y2)2


线段的中点坐标公式

两点的坐标分别为 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2的中点坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y),那么
x = x 1 + x 2 2 , y = y 1 + y 2 2 x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2} x=2x1+x2,y=2y1+y2


直线的斜率公式

两点的坐标分别为 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) P1(x1,y1)P2(x2,y2),则线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2所在的直线的斜率为 k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} k=x2x1y2y1


坐标系旋转

设旋转角为 θ \theta θ,对于原来的坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y),现在的坐标 ( x ′ , y ′ ) (x',y') (x,y)满足
x ′ = x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ , y ′ = y cos ⁡ θ − x sin ⁡ θ x'=x\cos\theta+y\sin \theta,y'=y\cos\theta-x\sin\theta x=xcosθ+ysinθ,y=ycosθxsinθ


皮克定理

设多边形的面积为 s s s,在多边形上的格点数为 a a a,多边形内格点数为 b b b,那么 s = a + b 2 − 1 s=a+\frac{b}{2}-1 s=a+2b1


未完待续(永远都未完)

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