#斜率优化#JZOJ 3655 BZOJ 3675 洛谷 3648 序列分割

最新推荐文章于 2025-09-22 23:15:00 发布

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#JZOJ 3655 序列分割 #洛谷 3648 序列分割 #BZOJ 3675 序列分割

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本文深入探讨了动态规划(DP)算法中的一种优化技巧，通过分析DP方程，提出了一种利用下凸壳来减少计算复杂度的方法。文章详细解释了如何通过维护下凸壳来优化DP状态转移方程，并给出了具体的实现代码。此外，还讨论了在实际应用中如何处理输出方案的问题。

题目

分析

那么朴素的dp方程设 $d p [i] [k]$ 表示前 $i$ 个数分割 $k$ 次的最大得分
$dp[i][k]=\max \{dp[j][k-1]+sum_j*(sum_i-sum_j)\}$
首先第二维可以滚掉，所以等同于
$dp[i]=\max\{dp[j]+sum_j*(sum_i-sum_j)\}$
设 $k (j < k)$ 更优于 $j$ ，那么 $dp[j]+sum_j*(sum_i-sum_j)\leq dp[k]+sum_k*(sum_i-sum_k)$
化简得到 $dp[j]-dp[k]-sum_j^2+sum_k^2\leq (sum_k-sum_j)sum_i$
那么 $\frac{(dp[j]-sum_j^2)-(dp[k]-sum_k^2)}{sum_k-sum_j}\leq sum_i$
可以知道 $sum_i$ 单调递增，所以维护下凸壳
然后你就WA了，因为要输出方案，而且 $d p$ 方程是两个数组交替滚动

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#define rr register
using namespace std;
long long f[100001],dp[100001];
int n,k,sum[100001],q[100001],pre[100001][211];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
inline long long sq(int x){return 1ll*sum[x]*sum[x]-dp[x];}
inline double slope(int j,int k){
	return sum[k]==sum[j]?-1e10:(1.0*(sq(k)-sq(j))/(sum[k]-sum[j]));
}
inline void dfs(int m,int k){
	if (pre[m][k]) dfs(pre[m][k],k-1),printf("%d ",pre[m][k]);
}
signed main(){
	n=iut(); k=iut();
	for (rr int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+iut();
	for (rr int j=1;j<=k;++j){
		rr int head=1,tail=0; q[++tail]=0;
		for (rr int i=1;i<=n;++i){
			while (head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<=sum[i]) ++head;
			f[i]=dp[q[head]]+1ll*sum[q[head]]*(sum[i]-sum[q[head]]),pre[i][j]=q[head];
			while (head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail])>slope(q[tail],i)) --tail;
			q[++tail]=i;
		}
		memcpy(dp,f,sizeof(dp));
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	dfs(n,k);
	return 0;
}