梯度下降法参数更新

### 梯度下降算法中的参数更新 梯度下降是一种常用的优化算法,在机器学习领域广泛应用于模型参数的调整。通过不断迭代,使目标函数逐渐接近最小值。参数更新的过程基于当前参数的方向导数(即梯度),并按照负梯度方向移动一定步长。 #### 参数更新公式 假设目标函数 \( J(\theta) \),其中 \( \theta \) 是待优化的参数向量,则梯度下降的参数更新公式可以表示为: \[ \theta := \theta - \alpha \nabla_\theta J(\theta) \] 这里: - \( \theta \) 表示当前参数; - \( \alpha \) 称为学习率 (learning rate),控制每次更新的步伐大小; - \( \nabla_\theta J(\theta) \) 表示目标函数关于参数 \( \theta \) 的梯度[^1]。 具体来说,该公式的含义是沿着损失函数减少最快的方向(即负梯度方向)逐步调整参数,直到达到局部最优解或满足停止条件为止。 #### 实现细节 以下是 Python 中实现梯度下降的一个简单例子,展示了如何利用上述公式来更新参数: ```python import numpy as np def compute_gradient(theta, X, y): """ 计算梯度 """ m = len(y) predictions = X.dot(theta) errors = predictions - y grad = (1 / m) * X.T.dot(errors) return grad def gradient_descent(X, y, theta_init, learning_rate, num_iterations): """ 使用梯度下降法更新参数 """ theta = theta_init.copy() for _ in range(num_iterations): gradient = compute_gradient(theta, X, y) theta -= learning_rate * gradient # 更新参数 return theta # 初始化数据和超参数 X = np.array([[1, 2], [1, 3], [1, 4]]) # 特征矩阵 y = np.array([7, 8, 9]) # 目标值 theta_init = np.zeros(2) # 初始参数 learning_rate = 0.01 # 学习率 num_iterations = 1000 # 迭代次数 # 执行梯度下降 final_theta = gradient_descent(X, y, theta_init, learning_rate, num_iterations) print("Final parameters:", final_theta) ``` 在这个代码片段中,`compute_gradient` 函数用于计算给定参数下的梯度,而 `gradient_descent` 函数则实现了完整的参数更新逻辑[^3]。 #### 小批量梯度下降法简介 除了标准的梯度下降外,还存在其他变体,比如随机梯度下降 (SGD) 和小批量梯度下降 (Mini-Batch GD)。后者结合了前两者的优点,既提高了训练速度又保持了一定程度上的准确性[^2]。它通过对样本分组处理的方式减少了单次更新所需的计算开销,同时也避免了完全依赖单一样例可能带来的波动影响。 --- ###
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