1、基于贝叶斯决策理论的分类器

基于贝叶斯决策理论的分类器

在模式识别领域，贝叶斯决策理论是一种重要的理论基础，它为分类任务提供了有效的方法和思路。下面将详细介绍基于贝叶斯决策理论的分类器相关知识。

1. 贝叶斯理论基础

在分类任务中，我们的目标是将一个给定的模式分类到预先定义的 $c$ 个类别之一。每个模式由一组特征值 $x(i)$（$i = 1,2,\cdots,l$）组成，这些特征值构成了 $l$ 维特征向量 $x = [x(1),x(2),\cdots,x(l)]^T \in R^l$。

贝叶斯理论给出了如下公式：
$P(\omega_i|x)p(x) = p(x|\omega_i)P(\omega_i)$
其中，$P(\omega_i)$ 是类别 $\omega_i$ 的先验概率；$P(\omega_i|x)$ 是给定特征向量 $x$ 时类别 $\omega_i$ 的后验概率；$p(x)$ 是特征向量 $x$ 的概率密度函数；$p(x|\omega_i)$ 是给定类别 $\omega_i$ 时特征向量 $x$ 的类条件概率密度函数（有时也称为 $\omega_i$ 关于 $x$ 的似然度）。同时，$p(x)$ 可以通过以下公式计算：
$p(x) = \sum_{i = 1}^{c} p(x|\omega_i)P(\omega_i)$

根据贝叶斯决策理论，如果 $P(\omega_i|x) > P(\omega_j|x)$（对于所有 $j \neq i$），则将特征向量 $x$ 分配到类别 $\omega_i$。考虑到上述公式，也可以等价地表示为 $p(x|\omega_i)P(\omega_i) > p(x|\omega_j)P(\omega_j)