12、偏微分方程求解：网格计算

偏微分方程求解：网格计算

在科学与工程领域，偏微分方程（PDEs）是模拟各种物理系统的重要工具，如天气变化、机翼周围的气流、流体中的湍流等。不过，除了一些简单的PDEs能直接求解外，大多数情况下需要使用迭代数值方法在有限个点上近似求解。本文将聚焦于二维拉普拉斯方程的求解，采用网格计算结合有限差分法的方式，并且会介绍几种不同的编程实现方法。

1. 拉普拉斯方程与雅可比迭代法

拉普拉斯方程是椭圆型偏微分方程的典型代表，二维形式用于描述未知势函数（如热或应力）在特定空间区域内的分布。给定空间区域及其边界上的解值，我们的目标是近似计算区域内部点的稳态解。

为了实现这一目标，我们可以用均匀分布的网格覆盖该区域，对每个内部点进行初始化，然后通过反复迭代计算其稳态值。每次迭代时，点的新值由其相邻点的旧值和/或新值组合确定，当所有新值与旧值的差异在可接受范围内时，计算终止。

求解拉普拉斯方程有多种静态迭代方法，如雅可比迭代法、高斯 - 赛德尔法和逐次超松弛法（SOR）。其中，雅可比迭代法将每个点的新值设为其四个相邻点旧值的平均值。由于每个新值相互独立，雅可比迭代法易于并行化，尽管其收敛速度比其他方法慢，但因其编程简单，本文将重点使用该方法。

2. 数据并行算法

数据并行算法是一种反复并行操作共享数组的迭代算法，常用于同步（SIMD）多处理器，也可在异步多处理器上使用。下面是雅可比迭代法的数据并行实现：
- 主要类的使用 ：为了在JR中实现该计算，我们使用了三个类：主类、雅可比类和结果类。
- 结果类 ：作为计算结果的容器，提供打印方法输出