13、旅行商问题的解决方案及优化

旅行商问题的解决方案及优化

1. 旅行商问题概述

旅行商问题是经典的“困难”组合搜索问题。给定 n 个城市和一个 n × n 的城市间距离矩阵 dist，其中 dist[i][j] 表示从城市 i 到城市 j 的距离，例如航空公司里程。假设每个城市之间都有直接连接，一名推销员从城市 1 出发，希望恰好访问每个城市一次，最后回到城市 1。问题的关键在于确定一条路径，使推销员的旅行距离最小化，也就是要找到 1 到 n 的一个排列，使得相邻城市对之间的距离之和（再加上回到城市 1 的距离）最小。

对于 n 个城市，从城市 1 出发并结束的不同路径有 (n - 1)! 条。除非 n 很小，否则这个数字会非常大。因此，需要寻找减少计算量的方法，并利用并行性来加速计算。

解决方案概述

有三种解决方案来解决旅行商问题：
- 顺序解决方案：使用深度优先搜索来检查所有可行路径。
- 复制工作进程和任务包：采用固定数量的工作进程共享任务包的方式。
- 管理者和工作进程：不使用共享变量的分布式程序。

2. 顺序解决方案

搜索树表示

为了找到恰好访问所有城市一次的最短路径，需要考虑每一种可能的旅行路线。如果从城市 1 出发，下一个可能访问的城市有 n - 1 个；从每个这样的城市出发，第三个可能访问的城市有 n - 2 个，依此类推。可以用一棵树来表示所有可能的旅行路线，城市 1 作为根节点。这棵树的深度为 n（城市数量），有 (n - 1)! 个叶子节点（不同的旅行路线数量）。例如，对于四个城市的搜索树如下：