错排问题

最新推荐文章于 2021-10-21 11:54:37 发布

原创最新推荐文章于 2021-10-21 11:54:37 发布 · 249 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

21 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了错排问题，一种经典的组合数学问题。通过递推式、容斥原理、二项式反演等多种数学工具，详细解析了错排排列计数的算法。文章提供了丰富的数学表达式和推导过程，适合对数学算法感兴趣的读者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

递推式

$f [1] = 0, f [2] = 1$
$f[i]=(n−1)⋅(f[i−1]+f[i−2])f[i]=(n-1)\cdot(f[i-1]+f[i-2])$

容斥1

$f [i]$ 表示至少有 $i$ 个位置不变的方案数
$a n s [i]$ 表示有 $i$ 个位置不变的方案数
$f[i]=Cni⋅(n−i)!f[i]=C_{n}^{i}\cdot (n-i)!$
$ans[i]=f[i]−∑j=i+1nCji⋅ans[j]ans[i]=f[i]-\sum_{j=i+1}^{n}C_{j}^{i}\cdot ans[j]$

二项式反演

$f[n]=∑i=0nCni⋅g[i]f[n]=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}\cdot g[i]$
$g[n]=∑i=0n(−1)n−i⋅Cni⋅f[i]g[n]=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\cdot C_{n}^{i}\cdot f[i]$

容斥2

两个辅助数组和容斥1相同，计算答案时稍有不同
$ans[i]=∑j=in(−1)j−iCji⋅f[j]ans[i]=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}C_{j}^{i}\cdot f[j]$
如何推得此式，考虑二项式反演
$f[i]=∑j=inCji⋅ans[j]f[i]=\sum_{j=i}^{n}C_{j}^{i}\cdot ans[j]$
$ans[i]=∑j=in(−1)j−iCji⋅f[j]ans[i]=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}C_{j}^{i}\cdot f[j]$

容斥3

$f [i]$ 表示序列长度为 $i$ 时的错位排列个数
可以得到
$n!=∑i=0nCni⋅f[i]n!=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}\cdot f[i]$
是否觉得和二项式反演公式很相似？
$f[n]=∑i=0n(−1)n−iCni⋅i!f[n]=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}\cdot i!$
$f[n]=∑i=0n(−1)n−in!(n−i)!f[n]=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\frac{n!}{(n-i)!}$
$f[n]=n!⋅∑i=0n(−1)ii!f[n]=n!\cdot \sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^{i}}{i!}$