错排问题解析-优快云博客

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Problem G: 白色相簿的季节

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Description

又到了白色相簿的季节。狗哥作为广工最帅气的投递员兼代码手，因为最近突然想到没有女朋友而心情变得低落。那能怎么办？工作还是要继续啊！所以今天他又和往常一样开始了送快递的工作。但他发现他今天送的快递和往常不大一样。只有n封信，竟然是n个男生送给他们各自女朋友的信！！！面对这n对情侣的信（1<=n<=18），狗哥因为难过而失去了理智，他在这时问你，把这n封信全部配送错有多少种方案。并且把这首《届かない恋》送给了你。

Input

第一行一个T，表示样例数
接下来T行，每行一个正整数n（1<=n<=18）,表示n封信。

Output

对于每组样例，输出一个数，表示n封信全部配送错的方案数。

Sample Input

223

Sample Output

裸题运用公式 a[ i ]=(i-1)!*( a[ i-1 ] + a[ i+1 ] )

#include<stdio.h>    
typedef long long ll;
int main()
{
      ll a[35]={0,0,1,2};
      for(int   i=4;i<=35;i++)
      {
           a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
      }
      int n,t;
      scanf("%d",&n);
      while(n--)
      {
           scanf("%d",&t);
           printf("%lld\n",a[t]);
      }
      return 0;
}

HDU-2048

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！

我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

Input输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

Output对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

Sample Input

1
2

Sample Output

50.00%

ans=（错排数）/（全排列数）

#include<stdio.h>
int main()
{
    double  b[21]={0,0,1,2};
    int i,j,n,m;
    double a[21]={1,1,2,6};
    for(i=4;i<=20;i++){
        a[i]=i*a[i-1];
        b[i]=(i-1)*(b[i-1]+b[i-2]);
    }scanf("%d",&m);
    while(m--){
       scanf("%d",&n);
       printf("%.2lf%%\n",b[n]/a[n]*100);
    }

    return 0;
}

HDU-2049

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:

首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板...

看来做新郎也不是容易的事情...

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

Input输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。
Output对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。
Sample Input

2
2 2
3 2

Sample Output

1
3

ans=（错排数）×（组合数）

#include<stdio.h>
int main()
{

    long long int a[22]={1,1,2};
    long long int b[22]={0,0,1,2};
    int i,j,n,m,t;
    for(i=3;i<21;i++){
        a[i]=i*a[i-1];}
    for(i=4;i<21;i++){
        b[i]=(i-1)*(b[i-1]+b[i-2]);
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%.0lld\n",a[n]/a[m]/a[n-m]*b[m]);
    }
    return 0;
}

题意：给你n个人, k 个数, 任意交换n个人的顺序，1号还在一号位就表示它的位置是对的. 则问你至少k个人还在对的位置的方案有几种.

//思路：思路这个应该就可以想到用错排公式加组合数学解决. 因为涉及到除法进行去mod运算, 所以要用到逆元. 首先预处理所有的数据,然后直接算就是了.

#define ll long long int
const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e4+5;
int n,k;
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll res = 1;
    while(y){
        if(y&1) res = x * res % mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

ll D[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
void init()
{
    //因为这里我们是反着弄的,即0个放错时, 全部放对有一种方法的. 因为题目是求对的方法吗.
    //所以就应该初始化为1. 错的方法才是初始化为0.
    D[0] = 1; D[1] = 0; D[2] = 1;
    for(ll i=3;i<=maxn;i++){
        D[i] = (i-1)*(D[i-1]+D[i-2]) % mod;
    } //初始化D(n)错排数.
    fac[0] = 1;
    for(ll i=1;i<maxn;i++) fac[i] = (fac[i-1]*i) % mod;  // 初始化n!数组.
    inv[maxn-1] = qpow(fac[maxn-1],mod-2);//先求一最大数的逆元.
    for(ll i=maxn-2;i>=0;i--){
        inv[i] = (inv[i+1]*(i+1) % mod);//初始化每一个阶乘对应
   //的逆元. 这个看不太懂就把它写出来就行了. a*a的逆元==1,这样做可
   //以把每一个阶乘的逆元给预处理出来.

    }
}

ll C(int n,int m)
{
    return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n-m] % mod;
}

void solve()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    ll res = 0;
    for(int i=k;i<=n;i++){
        res += D[n-i]*C(n,n-i);    //C(n,i) 恒等 C(n,n-i),组合数学基本公式吗.
        res %= mod;
    }
    printf("%lld\n",res%mod);
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    init();
    while(t--){
        solve();
    }
}