该博客讨论了一种二进制数操作问题，其中每次操作以特定概率将二进制数加上一个值，并引入了代价概念。博主提出了一种平方级别的算法，通过动态规划（DP）和快速傅里叶变换（FFT/NTT）来计算在不同限制条件下的期望代价。对于n和m较小的情况，博主给出了具体的解决方案，并分析了时间复杂度。
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Difficulty
算法难度7，思维难度6，代码难度6
Description
一个初始为 0 0 0 的二进制数，有 m m m 次操作。
第 i i i 次操作是将这个二进制数加上 2 a i 2^{a_i} 2ai 。这个操作以 p i p_i pi 的概率执行。
如果某次操作执行了并且修改了二进制数的 k k k 位，那么它会带来 k k k 的代价。
问代价和的期望，答案对 998244353 998244353 998244353 取模。
n = max a i ≤ 1 0 5 , m ≤ 2 × 1 0 5 n=\operatorname{max}a_i\le10^5,m\le 2\times 10^5 n=maxai≤105,m≤2×105
Solution
这题有两类部分分，一类是 n , m ≤ 3000 n,m\le 3000 n,m≤3000 ，另一类是 n = 1 , a i = 0 n=1,a_i=0 n=1,ai=0 。
首先考虑第一类，我们需要一个平方级别的算法。
考虑每位的贡献，我们可以设计一个 d p ( i , j ) dp(i,j) dp(i,j) 代表第 i i i 位改变 j j j 次的概率。
转移的话，首先是加入一个 2 i 2^i 2i 的概率 p p p 的修改： d p ′ ( i , j ) = d p ( i , j − 1 ) × p + d p ( i , j ) × ( 1 − p ) dp'(i,j)=dp(i,j-1)\times p+dp(i,j)\times (1-p) dp′(i,j)=dp(i,j−1)×p+dp(i,j)×(1−p)
还有从 i i i 位转移到 i + 1 i+1 i+1 位所造成的影响： d p ( i + 1 , j ) = d p ( i , 2 × j ) + d p ( i , 2 × j + 1 ) dp(i+1,j)=dp(i,2\times j)+dp(i,2\times j+1) dp(i+1,j)=dp(i,2×j)+
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