[bzoj3944]：Sum（杜教筛）

最新推荐文章于 2019-11-03 01:11:30 发布

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杜教筛太强辣

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本文介绍了一种高效的算法——杜教筛，通过预处理和巧妙的递归思想，实现对欧拉函数和莫比乌斯函数前缀和的快速计算。复杂度为O(n^2/3)，适用于大范围数论问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门
杜教筛好神奇啊
杜教太强辣
就是基于一些式子（懒得写了。）
然后预处理前 $n^{2/3}$ 的前缀和，然后复杂度就是 $O(n^{2/3})$ 了
代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a<b?a:b
using namespace std;
const int N=5e6;
int prime[N+5],vis[N+5],cnt;
ll phi[N+5],mu[N+5];
map<int,ll> sphi,smu;
inline void init(){
    phi[0]=mu[0]=0;
    phi[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
            else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=N;i++)
        phi[i]+=phi[i-1],
        mu[i]+=mu[i-1];
}
inline ll calc_phi(ll n){
    if(n<=N)return phi[n];
    map<int,ll>::iterator it;
    if((it=sphi.find(n))!=sphi.end())return it->second;
    ll i,last,ans=(n*(n+1))>>1;
    for(i=2;i<=n;i=last+1){
        last=n/(n/i);
        ans-=(last-i+1)*calc_phi(n/i);
    }
    return sphi[n]=ans;
}
inline ll calc_mu(ll n){
    if(n<=N)return mu[n];
    map<int,ll>::iterator it;
    if((it=smu.find(n))!=smu.end())return it->second;
    ll i,last,ans=1;
    for(i=2;i<=n;i=last+1){
        last=n/(n/i);
        ans-=(last-i+1)*calc_mu(n/i);
    }
    return smu[n]=ans;
}
int main(){
    init();
    ll T,n;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        printf("%lld %lld\n",calc_phi(n),calc_mu(n));
    }
    return 0;
}