平面方程及拟合

本文详细介绍了平面方程的一般式、向量法向量的证明、点法式方程的构造,以及如何计算平面与坐标轴的截距式和点到平面的距离。深入理解了平面方程在三维空间中的几何意义。

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平面方程及拟合

一般式

ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0a,b,ca,b,ca,b,c不同时为0,

{a=0时,平面与x轴平行b=0时,平面与y轴平行c=0时,平面与z轴平行d=0时,平面过O点\left\{\begin{aligned} &a=0时,平面与x轴平行\\ &b=0 时,平面与y轴平行\\ &c=0 时,平面与z轴平行\\ &d=0 时,平面过O点 \end{aligned}\right.a=0xb=0yc=0zd=0O

向量(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)为平面的一个法向量,证明:
设平面点P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)P(x_1,y_1,z_1),Q(x_2,y_2,z_2)P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)属于平面,则满足ax1+by1+cz1+d=0ax_1+by_1+cz_1+d=0ax1+by1+cz1+d=0ax2+by2+cz2+d=0ax_2+by_2+cz_2+d=0ax2+by2+cz2+d=0
两式相减:a(x2−x1)+b(y2−y1)+c(z2−z1)=0a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)+c(z_2-z_1)=0a(x2x1)+b(y2y1)+c(z2z1)=0
设向量PQ⃗=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)\vec{PQ} =(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)PQ=(x2x1,y2y1,z2z1) ,则可知PQ⃗⋅(a,b,c)=0\vec{PQ}\cdot(a,b,c)=0PQ(a,b,c)=0,则向量 (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c) 为法向量。
证毕。

点法式

设平面 α\alphaα 的法向量 n⃗=(a,b,c)\vec{n} = (a,b,c)n=(a,b,c),平面内一定点 A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0)A(x0,y0,z0),平面内任意一点 P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z),有 PA⃗∗n⃗=0\vec{PA}*\vec{n}=0PAn=0;
故点PPP坐标满足:a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0,即平面的点法式方程。
将其展开:ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0,其中 d=−(ax0+by0+cz0)d=-(ax_0+by_0+cz_0)d=(ax0+by0+cz0), 即一般式方程。

截距式

平面与xyz坐标轴相交与A(x0,0,0),B(0,y0,0),C(0,0,z0)A(x_0,0,0), B(0,y_0,0),C(0,0,z_0)A(x0,0,0),B(0,y0,0),C(0,0,z0),不交于O点,设平面方程为ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
{x0a+d=0y0b+d=0z0c+d=0\left\{\begin{aligned} x_0a + d = 0 \\ y_0b+d=0 \\ z_0c+d=0 \end{aligned}\right.x0a+d=0y0b+d=0z0c+d=0,设d=−1d=-1d=1xx0+yy0+zz0=1\dfrac{x}{x_0}+\dfrac{y}{y_0}+\dfrac{z}{z_0}=1x0x+y0y+z0z=1,其法向量为n⃗=(1x0,1y0,1z0)\vec{n}=(\dfrac{1}{x_0},\dfrac{1}{y_0},\dfrac{1}{z_0})n=(x01,y01,z01).

点到平面距离

平面外点P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)到平面距离为:D=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2D=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}D=a2+b2+c2ax0+by0+cz0+d
可知平面到坐标原点的距离为:Do=∣d∣a2+b2+c2D_o=\dfrac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}Do=a2+b2+c2d

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