12、贝叶斯网络中的独立性与图表示

贝叶斯网络中的独立性与图表示

在贝叶斯网络的研究中，我们关注的核心问题之一是如何通过图结构来表示和理解概率分布中的独立性关系。下面将详细介绍相关的重要概念和算法。

1. 分布与图的依赖关系加强

有一个新的结果从两个方面加强了之前的定理。首先，之前的定理表明图中的任何依赖关系都能在某些分布中找到，而新结果指出存在一个单一的分布与图是忠实的，即图中的所有依赖关系能同时成立。其次，这个性质不仅适用于单个分布，几乎所有能在图 $G$ 上进行因式分解的分布都满足。

证明的基本思路是：每个条件独立性断言都对应着条件概率分布（CPD）参数空间上的一组多项式等式。多项式的一个基本性质是，它要么恒为零，要么几乎处处不为零（其根的集合测度为零）。之前的定理意味着不在 $I(G)$ 中的断言所对应的多项式不可能恒为零，因为它们至少有一个反例。所以，表现出这些“虚假”独立性断言的分布集合测度为零。不满足 $I(P) = I(G)$ 的分布集合是这些单独集合的并集，有限个测度为零的集合的并集测度仍为零，从而证明了该结果。

这意味着对于图 $G$ 的几乎所有参数化 $P$（即变量的几乎所有可能的 CPD 选择），d - 分离测试能精确刻画 $P$ 所满足的独立性关系。即使分布 $P$ 满足比 $I(G)$ 更多的独立性关系，对 $P$ 的 CPD 进行轻微扰动通常也会消除这些“额外”的独立性关系。不过，在某些情况下，CPD 具有特定的局部结构，会导致一些无法通过 d - 分离检测到的额外独立性关系。

2. d - 分离算法

d - 分离的概念让我们可以通过检查图 $G$ 的连通性来推断能在 $G$ 上因式分解的分布 $P$ 的独立性性质。但为了