4、概率分布的条件独立性与贝叶斯网络推理

概率分布的条件独立性与贝叶斯网络推理

1. 条件独立性基础

在概率分布的研究中，条件独立性是一个重要概念，它是独立性概念的推广。当变量 X 和 Y 在给定 Z 的条件下满足 (P(X, Y | Z) = P(X | Z)P(Y | Z)) 时，我们称 X 和 Y 在给定 Z 的条件下是条件独立的，记作 ((X⊥Y | Z))。从这个定义还能推出，((X⊥Y | Z)) 等价于 (P(X | Z) = P(X | Y, Z))，这意味着在已知 Z 的情况下，关于 Y 的信息不会为 X 提供额外信息，反之亦然。

例如，在卫星跟踪问题中，假设卫星轨迹偏差（D）在已知电气系统故障（E）的情况下与通信损失（C）条件独立，可表示为 ((D⊥C | E))。也就是说，当我们知道发生了电气系统故障时，观察到的通信损失对我们判断是否存在轨迹偏差没有影响，我们对轨迹偏差的预期升高仅仅是因为知道发生了电气系统故障。

2. 贝叶斯网络中的条件独立性判断

贝叶斯网络能够用比通常更少的独立参数来表示联合分布，这得益于其图形结构中编码的条件独立性假设。我们可以通过一组规则来判断贝叶斯网络的结构是否意味着两个变量在给定一组其他证据变量的条件下是条件独立的。

具体来说，要检查 ((A⊥B | C)) 是否由网络结构所暗示（其中 C 是一组证据变量），需要检查从 A 到 B 的所有可能无向路径是否满足 d - 分离。若满足以下任何一种情况，则称 A 到 B 的路径被 C d - 分离：
1. 路径包含节点链 (X →Y →Z)，且 Y 在 C 中。
2. 路径包含分叉 (X ←Y →Z)，且 Y 在 C 中。
3. 路径包含倒分叉（也称为 v