37、距离与网络方法：图论与PageRank算法解析

距离与网络方法：图论与PageRank算法解析

1. 加权图与诱导网络

在空间中，一组点之间的成对距离可以定义一个完全加权图。通过设定距离阈值，去除长距离的边，就能得到一个稀疏图，这个稀疏图能够捕捉到这些点的结构信息。

1.1 加权图的概念

图中的边表示二元关系。在某些情况下，我们只需要知道边是否存在，比如网页之间的连接或者某人是否购买了特定产品。但更多时候，我们需要衡量关系的强度或紧密程度。如果图中的每条边都关联一个数值，那么这个图就是加权图。例如，在道路网络中，每条道路段都有长度或行驶时间，这些数值对于寻找两点之间的最佳路线至关重要。

我们可以将空间中的一组 $n$ 个点看作一个具有 $n$ 个顶点的完全加权图，其中边 $(x, y)$ 的权重就是点 $x$ 和 $y$ 在空间中的几何距离。对于许多应用来说，这个图编码了关于这些点的所有相关信息。

1.2 图的矩阵表示

图最自然的表示方式是使用 $n×n$ 的邻接矩阵。我们定义一个非边符号 $x$，当且仅当顶点 $i$ 和 $j$ 之间存在边 $(i, j)$ 时，矩阵 $M$ 中的元素 $M[i, j] \neq x$。对于无权网络，通常边的符号为 1，非边符号 $x = 0$；对于距离加权图，边 $(i, j)$ 的权重就是它们之间的旅行成本，此时非边符号 $x = \infty$，表示 $i$ 和 $j$ 之间没有直接连接。

这种矩阵表示法非常强大，因为我们可以运用线性代数的工具来处理图。然而，当网络的顶点数超过几百个时，存储 $n×n$ 矩阵的成本会变得非常高。对于大型稀疏图（顶点多但边相对较少），有更高效的存储方法。