37、距离与网络方法全解析

距离与网络方法全解析

1. 加权图与诱导网络

在图结构中，边代表着二元关系。例如网页之间的连接、某人购买特定产品的事实等，在这些场景中，边的存在本身就是我们所关注的信息。然而，很多时候两个节点之间的关系存在强弱或紧密程度的度量。以道路网络为例，每条道路都有其长度或行驶时间，这对于规划两点间的最佳路线至关重要。

当图中的每条边都关联一个数值时，我们称这个图为加权图。这个权重常常（但不总是）可以自然地解释为距离。比如，空间中的一组 n 个点可以被看作一个具有 n 个顶点的完全加权图，其中边 (x, y) 的权重就是点 x 和点 y 在空间中的几何距离。对于许多应用来说，这个图包含了这些点的所有相关信息。

图通常用 n×n 的邻接矩阵来表示。我们定义一个非边符号 x，当且仅当顶点 i 和 j 之间存在边 (i, j) 时，矩阵 M 的元素 M[i, j] 不等于 x。对于无权网络，边的符号通常为 1，x 为 0；对于距离加权图，边 (i, j) 的权重是它们之间的旅行成本，此时 x 设为 ∞ 表示 i 和 j 之间没有直接连接。

邻接矩阵表示法具有强大的功能，因为我们可以运用线性代数的工具来处理图。但它也有缺点，当网络的顶点数超过几百个时，存储 n×n 矩阵的成本会变得非常高。对于大型稀疏图（顶点多但边相对较少），有更高效的存储方法。

图的可视化通常是通过为每个顶点在平面上分配一个点，并在这些点之间绘制线条来表示边。这种节点 - 连线图对于直观展示网络结构非常有价值。可以使用力导向布局算法来构建这些图，在这种布局中，边就像弹簧一样，使相邻的顶点靠近，而非相邻的顶点相互排斥。

图的嵌入是指用点来表示图的顶点，以捕捉图的某些结构特