34、深入探索EM算法及其扩展与隐马尔可夫模型

深入探索EM算法及其扩展与隐马尔可夫模型

1. EM算法及其扩展

EM算法是一种用于含隐变量概率模型的最大似然估计或最大后验估计的迭代算法。其核心思想是通过迭代求解观测数据的对数似然函数的最大值，来实现最大似然估计。

1.1 EM算法步骤

• E - 步（求期望） ：计算给定当前参数估计值 $\theta^{(i)}$ 下，$\log P(Y,Z|\theta)$ 关于 $P(Y,Z|\theta^{(i)})$ 的期望，得到 $Q$ 函数：
  $Q(\theta, \theta^{(i)}) = \sum_{Z} \log P(Y,Z|\theta) P(Z|Y, \theta^{(i)})$，其中 $\theta^{(i)}$ 是当前参数的估计值。
• M - 步（求最大值） ：最大化 $Q$ 函数，得到参数的新估计值：$\theta^{(i + 1)} = \arg \max_{\theta} Q(\theta, \theta^{(i)})$。

在每次迭代中，EM算法通过最大化 $Q$ 函数来增加对数似然函数 $L(\theta)$ 的值，即 $P(Y|\theta^{(i + 1)}) \geq P(Y|\theta^{(i)})$。一般情况下，EM算法是收敛的，但不能保证收敛到全局最优。

1.2 EM算法的应用

EM算法具有广泛的应用，主要用于含隐变量概率模型的学习。例如，高斯混合模型的参数估计就是EM算法的一个重要应用。此外，隐马尔可夫模型（HMM）的无监督学习也是EM算法的