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最新推荐文章于 2024-11-17 14:16:58 发布

原创最新推荐文章于 2024-11-17 14:16:58 发布 · 528 阅读

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#c++

博客内容讲述了如何解决一道数学竞赛题目，涉及到整数操作和质因子分解。作者通过分析得出，当无法直接通过质因子操作时，需要通过加减操作找到公共质因子，然后进行质因子除法。文章提到了一个编程实现时的错误，并给出了修正后的代码。

题意：

给出两个整数 $a, b$ ，每次可以选择如下一个操作进行：

（1）把 $a, b$ 都+1

（2）把 $a, b$ 都-1

（3）把 $a, b$ 都除以一个他们的公共质因子

问最小次数，使得 $a, b$ 至少存在一个等于1

Solution：

不妨令 $a≤ba\leq b$

假设某个时候，我们没有质因子可以除，那么我们需要利用 $+ 1, - 1$ 移动到一个有公共质因子的地方，然后再操作，如果到某个地方，两数存在有公共质因子，显然，他们的差 $b - a$ 一定是这个公共质因子的倍数，于是，他们的公共质因子一定是 $b - a$ 的任意一个公共质因子，那么唯一分解 $b - a$ ，对于每个 $a, b$ ，可以有这样的操作，一直-1到某个有公共质因子的地方，或者一直-1

到1，显然第二个的次数是 $a - 1$ ，而第一种，我们需要枚举 $b - a$ 的质因子 $p$ ，此时有两种决策，即把 $a$ 移至最接近的两个 $p$ 的倍数，即 $p×⌊ap⌋p\times\lfloor\frac{a}{p}\rfloor$ 和 $p×⌈ap⌉p\times \lceil\frac{a}{p}\rceil$ ，然后除 $p$ ，此时操作次数为 $∣ res - a ∣ + 1$ ， $res$ 是 $a$ 移动到的数值，每次枚举决策，记忆化搜索即可

训练的时候一直调不出来，原来是有一个函数写反参数，向上取整脑子短路写错了。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
using ll=long long;
#define div ttttttmp
const int N=200005,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;
 
int prime[N],cnt;
bool isprime[N];
 
void make_prime()
{
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    for(int i=2;i<=100000;i++)
    {
        if(isprime[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=100000;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
 
ll ceil(ll a,ll b){return a%b?a/b+1:a/b;}
 
vector<ll>div;
map<pair<ll,ll>,ll>map1;
 
ll dfs(ll x,ll del)
{
    if(x==1) return 0;
    if(map1.count({x,del})) return map1[{x,del}];
    ll min1=x-1;
    for(int i:div)
    {
        if(del%i) continue;
        if(i*(x/i)) min1=min(min1,dfs(x/i,del/i)+x-(i*(x/i))+1);
        if(i*ceil(x,i)) min1=min(min1,dfs(ceil(x,i),del/i)+i*ceil(x,i)-x+1);
    }
    return map1[{x,del}]=min1;
}
 
void work()
{
    ll a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    if(a>b) swap(a,b);
    map1.clear(); div.clear();
    ll tmp=b-a;
    for(int i=1;i<=cnt&&tmp>1;i++)
    {
        if(tmp%prime[i]==0) div.push_back(prime[i]);
        while(tmp%prime[i]==0) tmp/=prime[i];
    }
    if(tmp>1) div.push_back(tmp);
    printf("%lld\n",dfs(a,b-a));
}
 
int main()
{
    make_prime();
    int t; cin>>t;
    while(t--) work();
    return 0;
}