HDU2022多校第一场C，bitset优化bool dp

原创已于 2022-07-20 09:27:15 修改 · 252 阅读

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#c语言 #算法 #动态规划

于 2022-07-20 08:30:07 首次发布

这篇博客介绍了如何使用动态规划结合Bitset优化解决01背包问题，其中物品具有容量和价值属性，目标是在背包容量限制下最大化物品的异或和。通过将状态转移方程与Bitset特性相结合，实现了高效的时间复杂度解决方案，避免了超时问题。文章详细阐述了Bitset在节省时间上的优势，并提供了完整的C++代码实现。

题意：

给出n件物品，每件物品有一个容量 $t_{i}$ 与价值 $v_{i}$ ，现有一个容量为 $m$ 的背包，选出一个组合恰好塞满背包，并且使所有选择物品的异或和最大，输出这个异或和，若不存在这样的组合，输出-1

分析：

对这个01背包，可以用存在性 $d p$ ，设 $d p [i] [j]$ 为容量为 $i$ ，已选取的物品的异或和为 $j$ 是否可能存在，转移也非常简单 $v[k]]dp[i][j]=dp[i-t[k]][j\ xor\ v[k]]$ ，但是这样枚举会超时，可以利用 $bi t se t$ 节省时间，一个 $bi t se t$ 可以看作一个 $b oo l$ 数组，那么可以把 $dp[1100][1100]bool\ dp[1100][1100]$ 换成 $bi t se t < 1100 > d p [1100]$ ， $bi t se t$ 节省时间在利用左右移和整体赋值来达到节省时间。在这里，如果把原本 $d p$ 数组的前后意义交换 $d p [i] [j]$ 表示为异或和为 $i$ 时，容量组合为 $j$ 的组合是否存在，那么 $v[k]][j−t[k]]dp[i][j]=dp[i\ xor\ v[k]][j-t[k]]$ ，可以理解为，当前 $i$ 这一行的所有数都由 $v[k]i\ xor\ v[k]$ 那一行对应位置的往前 $t [k]$ 位转移过来，普通的 $b oo l$ 数组不能左移， $bi t se t$ 可以，所以这里设 $bi t se t < 1100 > d p [1100] ， d p [i]$ 意为异或和为 $i$ 的所有容量可能情况，那么 $v[k]]<<t[k]dp[i]|=dp[i\ xor\ v[k]]<<t[k]$ ，右式的 $d p$ 是计算完上一个物品的结果，因此在计算每一个物品时，需要保存前一个物品的结果。

总结一下：

$bi t se t$ 节省时间就在于整个数组左移右移后的整体赋值，发现本来的 $d p$ 数组恰好某一行完全由另一行转移来，并且是每一个位置都是从那一列的对应位置的前 $k$ 个位置转移来，也就是前一个符合了 $bi t se t$ 整体赋值，后一个符合了 $bi t se t$ 左移节省时间的特点，这样的情况是适合用 $bi t se t$ 的

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int read()
{
    int ret=0,base=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') base=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return ret*base;
}

int n,m,t[1100],v[1100];
bitset<1100>dp[1100],last[1100];

void work()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=0;i<1024;i++) dp[i].reset();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        t[i]=read();
        v[i]=read();
    }
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1023;j>=0;j--) last[j]=dp[j];
        for(int j=1023;j>=0;j--) dp[j]|=last[j^v[i]]<<t[i];
    }
    int ans=-1;
    for(int i=0;i<1024;i++)
    {
        if(dp[i][m]) ans=i;
    }
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
    int t=read();
    while(t--) work();
     return 0;
}