（树状数组+逆元）洛谷P5142 区间方差

洛谷P5142 区间方差

(^ _w ^)

题目背景

出题人并没有能力写有趣的题面……
题目描述

对于一个长度为n的序列a1,a2,a3⋯ana_1,a_2,a_3\cdots a_na1​,a2​,a3​⋯an​，我们定义它的平均数a为:

a=1n∑i=1naia=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_ia=n

1​∑i=1n​ai​

并定义它的方差d为:

d=1n∑i=1n(ai−a)2d=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a_i-a)2d=n

1​∑i=1n​(ai​−a)2

现在给定一个长度为n的序列b1,b2⋯bnb_1,b_2\cdots b_nb1​,b2​⋯bn​。你需要支持两种操作。每种操作的格式为c x y。

若c=1，为修改操作，代表将bxb_xbx​赋值为y。

若c=2，为查询操作，代表查询bxb_xbx​到byb_yby​的方差。

为了避免浮点数误差，请以分数取模形式输出结果（对1000000007（109+710^9+7109+7）取模）。如果不知道什么是分数取模，请看下文。

对于一个正整数a，如果a÷M=p⋯ra\div M=p\cdots ra÷M=p⋯r，则称a模M为r。记为a≡r(mod M)a\equiv r(\mod ~M)a≡r(mod M)或者a%M=ra%M=ra%M=r。

对于一个正整数a，如果存在正整数b，使得a×b≡1(mod M)a\times b\equiv 1(\mod~M)a×b≡1(mod M)，则称b为a的逆元，记为b=rev(a)b=rev(a)b=rev(a)。此题我们保证逆元一定存在。

对于一个分数ab\frac{a}{b}b

a​，其取模表示为：a×rev(b)%Ma\times rev(b)%Ma×rev(b)%M。

在此题中，M=1000000007（109+710^9+7109+7）。
输入输出格式
输入格式：

第一行两个数n,m，代表序列b的长度为n，有m个操作。

第二行n个整数bib_ibi​，表示序列b的初始值。

下面有m行整数，每行格式为c a b，含义如上文所示。保证所有操作合法。

输出格式：

对于每个操作2，输出一行。

输入输出样例
输入样例#1： 复制

4 8
0 0 0 0
1 1 1
1 2 2
1 3 3
1 4 4
2 1 1
2 1 2
2 1 3
2 1 4

输出样例#1： 复制

0
250000002
666666672
250000003

题解

反正没什么好说的，题目很好懂。我们稍微动一下笔可得到以下结论。
设：
原数组为$a_i$
平均数为$aa$
方差为$d$
区间为$[l,r]$

$$aa=(\sum _{i=l}^r{a}_i)÷(r-l+1)$$

$$d=\sum _{i=l}^r(a_i-aa{)}^2$$

化简一下得

$$d=\sum _{i=l}^r(a_i^2-2a_i\cdot aa+a{a}^2)=(r-l+1)a{a}^2-2aa\sum _{i=l}^r{a}_i+\sum _{i=l}^r{a}_i^2$$

所以其实是一个区间和和区间平方和。
用树状数组维护。
AC代码。复杂度 O($nlo{g}_{2}n+mlo{g}_2^{2}n$)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,c[100100],cs[100100];
const long long p=1000000007;
inline long long read()
{
    long long s=0,w=0;
    char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^0x30);ch=getchar();}
    return w ? -s : s;
}
inline long long lowbit(long long x)
{
	return x&(-x);
}
inline long long quc(long long i)
{
    long long res=0;
    while(i)
	{
        res=(res+c[i])%p;
        i-=lowbit(i);
    }
    return res;
}
inline long long qucs(long long i)
{
    long long res=0;
    while(i)
	{
        res=(res+cs[i])%p;
        i-=lowbit(i);
    }
    return res;
}
inline long long inv(long long x)
{
    if(x==1) return 1;
    if(x<1) return 0;
    return (p-p/x)*inv(p%x)%p;
}
inline void change(long long i,long long k)
{
    long long d=k-(quc(i)-quc(i-1));
    long long t=i;
    while(t<=n)
	{
        c[t]=(c[t]+d)%p;
        t+=lowbit(t);
    }
    d=k*k-(qucs(i)-qucs(i-1));
    t=i;
    while(t<=n)
	{
        cs[t]=(cs[t]+d)%p;
        t+=lowbit(t);
    }
}
int main()
{
	memset(c,0,sizeof(c));
	memset(cs,0,sizeof(cs));
	n=read();
	m=read();
	long long i=1;
	while(i<=n)
	{
		int a=read();
		if(a!=0) change(i,a);
		++i;
	}
	long long op;
	while(m--)
	{
		op=read();
		if(op^1)
		{
			long long l,r;
			l=read();
			r=read();
			if(l==r) printf("0\n");
            else
            {
            	long long av,inve,ans=0;
            	inve=inv(r-l+1);
            	av=(quc(r)-quc(l-1))*inve%p;
            	ans=((qucs(r)-qucs(l-1))%p-(av<<1)*(quc(r)-quc(l-1))%p)*inve%p;
            	ans=((ans+av*av%p)%p+p)%p;
            	printf("%d\n",ans);
        	}
        }
		else
		{
			long long a,b;
			a=read();
			b=read();
			change(a,b);
		}
	}
	return 0;
}
/*
1996年：东方灵异传（TOH1）
1997年：东方封魔录（TOH2）
1997年：东方梦时空（TOH3）
1998年：东方幻想乡（TOH4）
1998年：东方怪绮谈（TOH5）
2002年：东方红魔乡（TOH6）
2003年：东方妖妖梦（TOH7）
2004年：东方萃梦想（TOH7.5）
2004年：东方永夜抄（TOH8）
2005年：东方花映冢（TOH9）
2005年：东方文花帖（TOH9.5）
2007年：东方风神录（TOH10）
2008年：东方绯想天（TOH10.5）
2008年：东方地灵殿（TOH11）
2009年：东方星莲船（TOH12）
2009年：东方非想天则（TOH12.3）
2010年：东方文花帖DS（TOH12.5）
2010年：东方三月精（TOH12.8）
2011年：东方神灵庙（TOH13）
2013年：东方心绮楼（TOH13.5）
2013年：东方辉针城（TOH14）
2014年：弹幕天邪鬼（TOH14.3）
2014年：东方深秘录（TOH14.5）
2015年：东方绀珠传（TOH15）
2017年：东方凭依华（TOH15.5）
2017年：东方天空璋（TOH16）
*/
//RP++!!!

总结

水题,题解里说的，我拿来水博客了。