Graph[dfs序][LCA][线段树]

描述

给你一个图，一共有N个点，2*N-2条有向边。 边目录按两部分给出

1、 开始的n-1条边描述了一颗以1号点为根的生成树，即每个点都可以由1号点到达。

2、 接下来的N-1条边，一定是从i到1（2<=i<=N）的有向边，保证每个点都能到1

有q次询问：

1 x w :表示将第x条边的边权修改为w

2 u v ：询问u到v的最短距离

输入

第一行是2个整数N,Q，表示一共N个点Q次询问

接下来是N-1行，每行3个整数U,V,W，表示了前N-1条边,u到v的有向边

接下来N-1行，每行3个整数U,V,W，描述了每个点到1号点的边，V==1

接下来是Q行，表示Q次修改与询问

输出

若干行，每行回答一次询问

样例输入

5 9
1 3 1
3 2 2
1 4 3
3 5 4
5 1 5
3 1 6
2 1 7
4 1 8
2 1 1
2 1 3
2 3 5
2 5 2
1 1 100
2 1 3
1 8 30
2 4 2
2 2 4

样例输出

0
1
4
8
100
132
10

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分析

对于u在v上面的情况,长度即为dis[v]-dis[u]

判断方法:lca(u,v)==u

对于另外一种情况

我们发现,如果要取出最小,需要遍历整棵子树

我们想,能不能存储一个值, 让我们可以在O(1)或O(logn)的时间取出最小

我们观察上图路径,相当于走了半圈,我们想,如果补全成一圈呢

因为dis(root--u)为定值,所以取出的最小值的K,就是(k--root)+(root--k)最小的

len=dis(k--root)+dis(root--k)-dis(root--u)

我们记dist[k]=dis(k--root)+dis(root--k),把dist[k]存进线段树,下标为树的dfs序

这样保证一棵子树的下标是连续的

比如说u的dfs序是2,整棵树是连续的

我们记录一个st,与ed

st[u]=2,ed[u]=7,这样,u子树的最小值为quary(1,2,7) 

dfs序代码 

void dfs(int u,int f){
	st[u]=++id;
	for(int i=first[u];i;i=next[i]){
		int t=to[i]; if(t==f)continue;
		dfs(t,u);
	}
	ed[u]=id;
}

 LCA模板

int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}

我们在来考虑修改

如果修改的是树上的边,那么对整棵子树有影响

如果修改的是回1的边,那只对那一个点有影响

---

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define N 500005
using namespace std;
int n,q,x[N],y[N],z[N];
int first[N],next[N*2],to[N*2],tot;
struct Node{int l,r;LL val,tag;}t[N*4];
LL dis[N],dist[N],rev[N],w[N*2];
int dep[N],fa[N][20],st[N],ed[N],id;
int read(){
	int cnt=0;char ch=0;
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))cnt=cnt*10+(ch-'0'),ch=getchar();
	return cnt;
}
void add(int x,int y,int z){
	next[++tot]=first[x];
	first[x]=tot,to[tot]=y,w[tot]=z;
}
void dfs(int u,int f){
	st[u]=++id;
	for(int i=1;i<=18;i++)
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	for(int i=first[u];i;i=next[i]){
		int t=to[i]; if(t==f)continue;
		fa[t][0]=u,dis[t]=dis[u]+w[i],dep[t]=dep[u]+1;
		dfs(t,u);
	}
	ed[u]=id;
}
void build(int o,int l,int r){
	t[o].l=l,t[o].r=r;
	if(l==r){t[o].val=dist[l];return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(o<<1,l,mid),build(o<<1|1,mid+1,r);
	t[o].val=min(t[o<<1].val,t[o<<1|1].val);
}
int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
void spread(int o){
	if(t[o].tag){
		t[o<<1].tag+=t[o].tag;
		t[o<<1|1].tag+=t[o].tag;
		t[o<<1].val+=t[o].tag;
		t[o<<1|1].val+=t[o].tag;
		t[o].tag=0;
	}
}
void update(int o,int l,int r,int w){
	if(l<=t[o].l&&t[o].r<=r){t[o].val+=w,t[o].tag+=w;return;}
	spread(o);
	int mid=(t[o].l+t[o].r)>>1;
	if(l<=mid) update(o<<1,l,r,w);
	if(r>mid) update(o<<1|1,l,r,w);
	t[o].val=min(t[o<<1].val,t[o<<1|1].val);
}
LL quary(int o,int l,int r){
	if(l<=t[o].l&&t[o].r<=r){return t[o].val;}
	spread(o);
	LL mid=(t[o].l+t[o].r)>>1,ans=1e18;
	if(l<=mid) ans=min(ans,quary(o<<1,l,r));
	if(r>mid) ans=min(ans,quary(o<<1|1,l,r));
	return ans;
}
int main(){
	n=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		x[i]=read(),y[i]=read(),z[i]=read();add(x[i],y[i],z[i]);
	}
	for(int i=n;i<=n*2-2;i++){
		x[i]=read(),y[i]=read(),z[i]=read(),rev[x[i]]=z[i];
	}
	dep[1]=1,dfs(1,-1);
	for(int i=1;i<=n;i++) dist[st[i]]=dis[i]+rev[i];//下标是st[i]
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int op=read(),a1=read(),a2=read();
		if(op==1){
			if(a1>=n)//单点修改 
				update(1,st[x[a1]],st[x[a1]],a2-rev[x[a1]]),rev[x[a1]]=a2;
			else
				update(1,st[y[a1]],ed[y[a1]],a2-z[a1]),w[a1]=a2;
		}
		else{
			if(lca(a1,a2)==a1)
				printf("%lld\n",(quary(1,st[a2],st[a2])-rev[a2])-(quary(1,st[a1],st[a1])-rev[a1]));
			else{
				LL d_a1=quary(1,st[a1],ed[a1])-((quary(1,st[a1],st[a1]))-rev[a1]);
				LL d_a2=quary(1,st[a2],st[a2])-rev[a2];
				printf("%lld\n",d_a1+d_a2);
			}
		}
	}
	return 0;
}