牛顿插值多项式

最新推荐文章于 2024-08-01 11:03:33 发布

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本文详细介绍了牛顿插值法的基本概念及其证明过程。通过分解和组合项的方式，逐步推导出牛顿插值公式，并探讨其在动态更新插值多项式方面的应用价值。

牛顿插值：设 $f(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+⋯+an(x−x0)…(x−xn)f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+\dots+a_n(x-x_0)\dots(x-x_n)$

有结论，令 $f[x0,…,xk]=f[x1,…,xk]−f[x0,…,xk−1]xk−x0f[x_0,\dots,x_k]=\frac{f[x_1,\dots,x_k]-f[x_0,\dots,x_{k-1}]}{x_k-x_0}$
$f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+…f(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\dots$

证明：令 $x=x_k$ 要证 $f(xk)=f(x0)+f[x0,x1](xk−x0)+⋯+f[x0,…,xk](xk−x0)…(xk−xk−1)f(x_k)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x_k-x_0)+\dots+f[x_0,\dots,x_k](x_k-x_0)\dots(x_k-x_{k-1})$
拆最后一项 $f[x0,…,xk](xk−x0)…(xk−xk−1)=(f[x1,…,xk]−f[x0,…,xk−1])(xk−x1)…(xk−xk−1)f[x_0,\dots,x_k](x_k-x_0)\dots(x_k-x_{k-1})\\=(f[x_1,\dots,x_k]-f[x_0,\dots,x_{k-1}])(x_k-x_1)\dots(x_k-x_{k-1})$
加上前面一项合并成
$f[x0,…,xk−1](xk−x0)…(xk−xk−2)(xk−1−x0xk−x0)f[x_0,\dots,x_{k-1}](x_k-x_0)\dots(x_k-x_{k-2})(\frac{x_{k-1}-x_0}{x_k-x_{0}})$
然后再拆，发现可以变成
$f[x1,…,xk−1](xk−x1)…(xk−xk−2)f[x_1,\dots,x_{k-1}](x_k-x_1)\dots(x_k-x_{k-2})$ 以及合并后的
$f[x0,…,xk−2](xk−x0)…(xk−xk−3)(xk−2−x0xk−x0)f[x_0,\dots,x_{k-2}](x_k-x_0)\dots(x_k-x_{k-3})(\frac{x_{k-2}-x_0}{x_k-x_0})$
然后又可以继续往前和，最后发现剩下的就是 $f(x1)+f[x1,x2](xk−x1)+⋯+f[x1,…,xk−1](xk−x1)…(xk−xk−1)=f(xk)f(x_1)+f[x_1,x_2](x_k-x_1)+\dots+f[x_1,\dots,x_{k-1}](x_k-x_1)\dots(x_k-x_{k-1})=f(x_k)$