Van der Waerden 定理

https://zhuanlan.zhihu.com/p/150790806
https://www.bilibili.com/video/av86801472/

题外话：我发现 Van der Waerden 很帅 /se

定理内容大概为，将自然数划分成 $m$ 个集合，存在任意长度的等差数列。
这里给出小学二年级 都能懂的证明（我乱想的，有错请指出）（参考了上面知乎的回答和 B 站的那个视频，不过我感觉知乎的太深奥，B 站的讲得不是很清楚）

我们设 $F(m,k)$ 表示若将 $[1,n]$ 分成 $m$ 个集合，其中总有一个集合存在长为 $k$ 的等差数列，这个 $n$ 至少是多少。我们若能证明 $F(m,k)<+\infty$，那么就证到了原问题。

首先的观察的发现就是 $F(m,2)$ 事实上就是 $m+1$ （抽屉原理）
那么怎么构造长为 3 的等差数列呢？
我们先来玩一玩 $F(2,3)$。
我们想到若存在两个位置 $a,b(a<b)$ 颜色为 1，那么可以预定一下 $2b-a$ 颜色不是 1，不然就找到了长为 3 的等差数列。此时若能再找到两个位置 $p,q$ 同色，并使得 $p,a$ 不同色，且 $2q-p=2b-a$，那么就到手了。这些位置可以很优美的画出。
仅仅需要 $y,y+d,y+2d,z,z+d,z+2d$ 这 6 个位置，
其中 $p=y,a=y+2d,q=z+d,b=z+2d$。
我们将颜色用 xo 来表示，那么直观一点是这样的：

这样就能构造出 $F(2,3)$，这看起来是一小步，其实是至关重要的考虑。

下面，我们得先对 $m$ 归纳得到 $F(m,3)$
此时，我们仅仅需要做一些扩展，下面讨论 $F(3,3)$ 的情况。
使用下面的方法：首先用 $F(3,2)$ 找到 oox 的等差数列，然后把长为 $F(3,2)$ 的序列（可能需要更长一些，因为需要把 $x$ 的给包含进来）看成一个有 $3^{F(3,2)}$ 种可能颜色的点，后用 $F(3^{F(3,2)},2)$ 来找到一个下图括号里面的两个 x，然后找到 v，看成有 $3^{F(3^{F(2,3)},2)}$ 种颜色的点，再使用一次。

我们已经找到归纳的方法了，下面考虑归纳证明 $F(m,3)<\infty$，令 $N=m$，只需要重复下面过程 $m-1$ 次：$N\to N^{F(N,2)}$，最后得到的 $F(N,2)$ 就会存在 $m$ 条链相交的情况。（每做一次会多一种颜色的链出来）

接下来，我们考虑 $k$ 大一些的情况。
我们先从构造 $F(2,4)$ 入手，注意到只需要对 $F(2,3)$ 用一次归纳：

此时，我们已经可以写出最终的解法了。

1. 对于 $F(m,2)$，我们知道 $F(m,2)=m+1$。
2. 对于 $F(m,k)，k\ge 3$，令 $N=m$，执行 $m-1$ 次 $N=N^{F(N,k-1)}$，取 $F(m,k)=F(N,k-1)$ 就一定可以找到长为 $k$ 的等差数列。

备注：$N^{F(N,k-1)}$ 中的 $F(N,k-1)$ 都是要做出修正的，即找到了等差数列后，要扩展其长度到等差数列的下一项，此时 $F$ 仅仅是扩大了 $\le 1$ 倍，丝毫不影响 $F(m,k)<\infty$。
我们不妨将步骤 2 写成：令 $N=m$，执行 $m-1$ 次 $N=N^{2F(N,k-1)}$，取 $F(m,k)=F(N,k-1)$ 就一定可以找到长为 $k$ 的等差数列。

虽然我们找到的这个上界很大，但我们知道确确实实存在这样一个上界，这也就说明了，对自然数任意划分，我们能找到任意长度的等差数列。

不仅 Van der Waerden 人长得很帅，这个定理也很美，无穷的集合，无穷的划分，带来的是无穷的美和无穷的乐趣。