高斯消元

题目背景

Gauss消元

题目描述

给定一个线性方程组，对其求解

输入输出格式

输入格式：

 

第一行，一个正整数 n

第二至 n+1 行，每行 n+1 个整数，为 a1,a2...an ，b代表一组方程。

 

输出格式：

 

共n行，每行一个数，第 i行为 xi​ （保留2位小数）

如果不存在唯一解，在第一行输出"No Solution".

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3
1 3 4 5
1 4 7 3
9 3 2 2

输出样例#1： 复制

-0.97
5.18
-2.39

以样例为例,我们的矩阵为

1	3	4	5
1	4	7	3
9	3	2	2

 我们的最终目标是

1	0	0	?
0	1	0	?
0	0	1	?

所以说,我们枚举第i行,然后把第i列保留为1

为了实现,有以下步骤

1.将第i个系数最大的放在第i行

什么意思,假如i=1,第i个系数最大的是9,于是我们交换第一行和第三行

9	3	2	2
1	4	7	3
1	3	4	5

代码

int k=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++)  if(fabs(a[j][i])>fabs(a[k][i])) k=j//找到这一行
for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[k][j]);//将每一个元素交换

2.把第i行的第i个系数变为1 

我们要将9x+3y+2z=2,x的系数变为1,那每个数都除以9呗

1	1/3	2/9	2/9
1	4	7	3
1	3	4	5

代码

int res=a[i][i]
for(int j=i;j<=n+1;j++) a[i][j]/=res;

因为前面都是0了,所以从第i列开始除就行了 

3.把这一列回代到原方程

 就是将第i个系数消掉

怎么消呢

看看我们现在的矩阵

x+1/3y+2/9z=2/9

x+4y+7z=3

那么(x-x)+(4-1/3)y+(7-2/9)z=3-2/9,得

11/3y+61/9z=25/9

那万一系数不相同呢

假如说有个方程3x+2y+z=1

那我们就将要代入的方程成3(3x+y+2/3z=2/3),再依次相减,就能保证减后的系数为0了

1	1/3	2/9	2/9
0	4-1/3	7-2/9	3-2/9
0	3-1/3	4-2/9	5-2/9

代码

for(k=1;k<=n;k++)//回代的过程
    if(k!=i)
    {
          res=a[k][i];//原方程每一项都要乘的,为了消掉一个系数
          for(int j=i;j<=n+1;j++) a[k][j]-=a[i][j]*res;
    }

附每次消元后矩阵的情况

 

 P.S 判断解的情况

如果我们到第i行,发现第i个的系数为0,就有无数多种解

因为这种情况,就是0x=m的情况,x为任意实数

代码

 if(fabs(a[i][i])<1e-8) return 0;

---

 总代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 105
using namespace std;
double a[N][N]; int n;
bool gauss(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int k=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[k][i])) k=j;
		if(fabs(a[k][i])<1e-8) return 0;//最大的都小于10^-8
		for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[k][j]);
		double res=a[i][i]; 
		for(int j=i;j<=n+1;j++) a[i][j]/=res;
		for(int k=1;k<=n;k++)
			if(k!=i){
				double res=a[k][i];
				for(int j=i;j<=n+1;j++) a[k][j]-=res*a[i][j];
			}
	}
	return 1;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
			cin>>a[i][j];
	if(gauss())
		for(int i=1;i<=n;i++)
			printf("%0.2lf\n",a[i][n+1]);
	else cout<<"No Solution";
	return 0;
}