17、半环与弱刚性广群计算：从理论到编程实践

半环与弱刚性广群计算：从理论到编程实践

1. 运算规则与相干性定理思考

在一些运算中，存在着特定的规则。比如对于表达式 (A ⊗(B ⊕C))，交换 (B) 和 (C) 后进行左分配，与先分配再交换两个求和项的结果是相同的；对于 ((A⊕B)⊗C)，先交换乘积顺序再左分配，和先右分配再交换两个乘积顺序的结果也一致；对于 ((A ⊕B) ⊗(C ⊕D))，可以先左分配，再进行右分配映射最后结合，也可以先右分配，再映射左分配，经过一系列操作后达到相同结果。

当用“现代”的眼光审视相干性定理的证明细节时，会联想到 Knuth - Bendix 完备化。虽然已知某些范畴结构的相干性定律可以通过这种方式系统推导，但在存在某些结构（如对称性）时，Knuth - Bendix 完备化不会终止。目前还不清楚是否有从重写角度系统获得这些定律的方法，而与同伦理论的联系似乎是合理重建相干性定律的最大希望。

2. 类型与类型等价的对称刚性广群

可以将类型和类型等价的模型推广到对称刚性弱广群。有定理表明，对象为 Agda 类型、态射为类型等价的范畴是对称刚性广群。在证明过程中，使用的范畴定义由对象间态射集合的等价关系参数化，因为希望以等价关系作为态射，所以自然使用相关概念来定义态射相等。这些态射直接满足各类范畴定义中的公理，主要工作在于确保相干性条件在同伦意义下得到满足。这里仅展示 Laplaza 论文中第一个相干性条件的证明：

首先有一个引理表明从左上角节点出发的两条路径是等价的，该引理断言 (A ⊗(B ⊕C)) 和 ((A ⊗C) ⊕(A⊗B)) 之间的两条路径是同伦的。为了证明是广群，还需要知道逆引理也成立，即反转所有箭头也能得到一个同伦图。最后要证明正