16、半环与弱刚性广群计算

半环与弱刚性广群计算

1. 非正式开发

在探讨半环与类型理论之间类似Curry - Howard的对应关系时，我们先从交换半环的标准定义入手。

交换半环，有时也被称为交换刚性环（无负元素的环），由一个集合 $R$、$R$ 中的两个特殊元素 $0$ 和 $1$，以及两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 组成，且对于任意 $a, b, c \in R$，满足以下关系：
- $0 + a = a$ （$+$ - 单位元）
- $a + b = b + a$ （$+$ - 交换律）
- $a + (b + c) = (a + b) + c$ （$+$ - 结合律）
- $1 \cdot a = a$ （$\cdot$ - 单位元）
- $a \cdot b = b \cdot a$ （$\cdot$ - 交换律）
- $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ （$\cdot$ - 结合律）
- $0 \cdot a = 0$ （$\cdot$ - 零元）
- $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$ （$\cdot$ - $+$ 分配律）

半环元素的语法可以用下面的文法描述：
$a, b \colon!!= 0 \mid 1 \mid a + b \mid a \cdot b$

这与类型理论中有限类型的文法相对应：
$\tau \colon!!= \bot \mid \top \mid \tau_1 \uplus \tau_2 \mid \tau_1 \times \tau_2$