23、句法半环与语言方程解析

句法半环与语言方程解析

1. 不等式与方程基础

在处理语言相关的不等式和方程问题时，首先需要明确一些基本概念。设 $A = {a_1, \ldots, a_n}$（$n \geq 1$）是一个固定的有限字母表，$X = {x_1, \ldots, x_m}$（$m \geq 0$）是一个有限变量集。我们用 $Reg (A, X)$ 表示由空元运算符 $0, a_1, \ldots, a_n$，二元运算符 $\cdot, +$ 以及一元运算符 $*$ 作用于变量 $x_1, \ldots, x_m$ 所构成的所有项的集合，$Reg (A, X)$ 中的元素被称为 $A$ 上关于 $X$ 的正则表达式。

考虑代数结构 $L = (2^{A^ }, \varnothing, {a_1}, \ldots, {a_n}, \cdot, \cup, )$，其中 $\cdot$ 表示连接运算，$\cup$ 表示集合论中的并集，$ $ 表示克莱尼星号运算，且 ${1} = \varnothing^ $。对于给定的 $r \in Reg (A, X)$ 和 $A$ 上的正则语言 $L$，我们会关注以下不等式和方程：
- 不等式：$r(x_1, \ldots, x_m) \subseteq L$ （记为 $( )$）
- 方程：$r(x_1, \ldots, x_m) = L$ （记为 $( *)$）

进一步地，我们可以更正式地将其写为 $r(x_1, \ldots, x_m) \leq l$ 和 $r(x_1, \ldots, x_m) = l$，其中 $l \in Reg (A, \varnothing)$ 是