30、洛伦兹吸引子验证与公式解析的研究进展

洛伦兹吸引子验证与公式解析的研究进展

洛伦兹吸引子相关研究

数值计算的挑战与解决方案

在研究洛伦兹吸引子的过程中，数值计算面临着诸多挑战。对于流的偏导数$\frac{\partial\phi}{\partial x}$、$\frac{\partial\phi}{\partial y}$、$\frac{\partial\phi}{\partial z}$、$\frac{\partial\phi}{\partial t}$，对$DR$的过度近似可用于证明某些方向上的扩展和收缩。然而，数值方法存在一个障碍，即一些解会趋向于原点$(0, 0, 0)$，且需要无限时间才能到达。为解决这个问题，Tucker推导了一个坐标变换，使流在原点周围宽度为$0.1$的立方体中近似线性。当计算到达该立方体时可以中断，内部解通过显式公式传播，之后再继续数值计算。

常微分方程与数值解

在Isabelle/HOL中，常微分方程被形式化，同时包含局部存在性/唯一性的基本定理（皮卡 - 林德勒夫定理）、全局唯一解以及流的基本性质，如关于初始条件的连续性。但关于初始条件的可微性形式化仍缺失，这对于推理$DR$是必要的。

在求解常微分方程时，采用的方法与Tucker的不同。使用Heun方法，这是一种具有自适应步长控制的两级龙格 - 库塔方法，误差与步长的立方成正比。并且用 zonotopes 代替矩形，算法基于仿射算术而非区间算术。数值计算使用软件浮点数$m · 2^e$（$m, e \in Z$），并通过显式舍入操作限制$m$的大小。

为了保持精确的包围和可接受的性能，不时将可达集降为二维是很关键的。这需要计算可达 zonotopes 与中间平面或