23、形式化证明与反射原理：从排序网络到高阶逻辑

形式化证明与反射原理：从排序网络到高阶逻辑

在计算机科学和数学逻辑的领域中，形式化证明和反射原理是两个重要的概念。本文将探讨两个不同但相关的主题：大小最优排序网络的形式化以及高阶逻辑（HOL）中的证明产生反射原理。

大小最优排序网络的形式化

在排序网络的研究中，目标是找到使用最少比较器的排序网络，即大小最优的排序网络。研究人员开发了一个接口，该接口接收网络的描述和神谕信息列表，然后输出答案。这个接口包含从Haskell整数到提取的自然数的转换函数、实现神谕的函数，以及用于打印结果的 Checker.Answer 定义。

需要注意的是，由于神谕是不可信的，我们几乎不需要担心接口中定义的任何函数的正确性。例如，从自然数到其皮亚诺表示的错误转换不会影响执行的正确性，尽管它肯定会影响执行时间，因为所有的包含关系都将无效。我们只需要担心打印结果的函数，但这很容易验证。

提取的检查器能够在大约一天内验证最优大小的证明，直到并包括 n = 8 ，这与生成原始证明所需的时间大致相同，尽管没有进行搜索。这需要处理超过300MB的证明见证，用于大约160万个包含关系。据我们所知，这是首次对相关结果进行正式证明。

实验表明，使用这个提取的检查器，验证 S(9) = 25 的证明大约需要20年。随后对其底层算法进行优化后，能够将这个时间减少到不到一周。

主要贡献包括：
1. 对大小最优排序网络理论进行了形式化，包括对比较器网络的直观且可重用的形式化，以及一种更适合计算的排列新表示。
2. 一个经过认证的检查器，直接确认了相关文献中引用的