24、单台机器带释放时间的调度问题的PTAS实现

单台机器带释放时间的调度问题的PTAS实现

1. 引言

单台机器上对带释放时间的作业进行调度，以最小化总完成时间，是一个被广泛研究的基础调度问题。由于该问题是强NP完全问题，近年来许多研究聚焦于寻找启发式算法和近似算法。多项式时间近似方案（PTAS）是一种能在任何固定的 $\epsilon > 0$ 下，找到最优解 $(1 + \epsilon)$ 因子内的近似算法。最近，针对该问题设计出了一种PTAS。

通常，PTAS的运行时间很长，使得实现该算法不太可行。不过，本文讨论的调度PTAS运行时间为 $O(n \lg n + (1/\epsilon^5)!)$，虽然常数项较大，但由于它不与 $n \lg n$ 项耦合，使得该算法有可能快速实现。

本文介绍了Karger和Stein提出的PTAS（称为S - PTAS）的实现，将其与其他精确、启发式和近似算法进行性能比较。还尝试基于S - PTAS的思想找到更好的算法。结果表明，虽然严格实现的S - PTAS性能不佳，但可以通过修改实现来开发在实践中表现良好的强启发式算法。

2. 术语

• 设 $J$ 是一组 $n$ 个作业，每个作业 $j$ 的释放时间和处理时间分别为 $r_j$ 和 $p_j$，处理时间也称为作业大小。
• 对于单台机器调度问题，调度是将作业分配到机器的时间槽上，使得作业在释放时间之后开始处理，且同一时间最多处理一个作业。作业 $j$ 需处理 $p_j$ 个单位时间，其完成时间记为 $C_j(\sigma)$，当调度明确时，开始和完成时间分别缩写为 $S_j$ 和 $C_j$。
• 通常作业非抢占式运行（无中断），即