29、范畴论中的App范畴相关闭包研究

范畴论中的App范畴相关闭包研究

1. 引言

在范畴论的研究中，对于特定范畴的闭包性质的探讨是一项重要内容。本文聚焦于App范畴，深入研究其拟拓扑闭包（Quasi - topos Hull）和笛卡尔闭拓扑闭包（Cartesian Closed Topological Hull），旨在揭示这些闭包的性质、构造方法以及它们之间的关系。

2. App范畴的拟拓扑闭包

2.1 拟拓扑闭包的定义

对于一个范畴C，如果其拟拓扑闭包存在，记为QT(C)，它是包含C且C在其中最终稠密的最小拟拓扑范畴B。给定一个拟拓扑范畴A，其中C最终稠密，那么C的拟拓扑闭包是A的一个满子范畴，其对象C满足存在一个初始源$(f_i : C \to [A_i,B_i^{#}])_{i \in I}$，使得对于所有$i \in I$，$A_i$和$B_i$都属于C。简单来说，C的拟拓扑闭包是A中由C中的对象A和B构成的形如$[A,B^{#}]$的幂对象的初始（或双反射）闭包。

2.2 拟拓扑闭包的构造方法

范畴的拟拓扑闭包可以通过两步过程得到：首先构造外延拓扑闭包（ETH），然后构造笛卡尔闭拓扑闭包（CCTH），即$QT(C) = CCTH(ETH(C))$。需要注意的是，这两步的顺序不能互换。

2.3 相关定理及证明

• 命题1：PsAp是外延的 ：证明过程类似于证明CAp是外延的，此处省略。
• 定理1：PsAp是PrAp的拟拓扑闭包 ：由命题1和相关已知条件可知PsAp是拟拓扑范畴，进而可推出