27、收缩函数不动点与范畴理论的深入探讨

收缩函数不动点与范畴理论的深入探讨

1. 收缩函数的不动点

1.1 偏序集上的连续映射不动点

在偏序集 $(X, ≤)$ 中，若取 $X$ 上的 Scott 拓扑作为逼近结构（嵌入在 App 中），满足条件 $T_X ≤ M(X)$ 和 $≤ = ≤_X$。对于连续映射 $f : (X, σ(X)) → (X, σ(X))$，以及固定的 $x ∈ X$ 且 $x ≤ f (x)$，通过对 $x$ 迭代 $f$ 得到的序列 $(a_n)_n$（其中 $a_n = f^n(x)$）有上确界 $a = \bigvee_n a_n$，且 $a$ 是 $f$ 的不动点。若 $(X, ≤)$ 有最小元 $⊥$，取 $x = ⊥$，则 $a$ 是 $f$ 的最小不动点。

1.2 加权拟度量相关内容

1.2.1 加权拟度量的定义与应用

加权拟度量的概念在相关理论中有重要应用。Matthews（1994）和 Künzi（2001）给出了加权拟度量的定义，其与偏度量空间存在一一对应关系。Künzi 和 Vajner（1994）研究了可由加权拟度量诱导的拓扑空间，并给出了拓扑可由加权拟度量准度量化的充要条件。在领域理论中，加权拟度量有广泛应用。

1.2.2 复杂度拟度量空间

复杂度拟度量空间是加权拟度量空间的一个例子。设 $C ⊆ ]0, ∞]^N_0$，对于所有 $f ∈ C$，级数 $\sum_{n∈N_0} \frac{1}{2^n} \frac{1}{f (n)}$ 收敛。复杂度拟度量 $d_C$ 定义为：对于 $f, g ∈ C$，$d_C (f, g) = \sum_{n∈N_0} \frac{