24、逼近理论与超空间中的维托里斯结构

逼近理论与超空间中的维托里斯结构

1. 引言

在研究超空间相关问题时，我们可以从不同的空间类型出发。以往可能更多地从度量空间或赋范空间开始，而现在我们将视角转向任意逼近空间，探索如何自然地将维托里斯超空间构造从拓扑学拓展到逼近理论中。

2. 基础定义与概念

• 超空间 ：给定一个逼近空间 $(X, L)$，我们考虑两个重要的超空间，$CL(X)$ 表示所有非空闭子集构成的超空间，$K(X)$ 表示所有非空紧子集（在基础拓扑意义下）构成的超空间。
• 相关映射 ：若 $\mu \in [0, \infty]^X$，定义 $\mu^{\wedge}: CL(X) \to [0, \infty]$ 为 $\mu^{\wedge}(A) = \inf_{x \in A} \mu(x) = \inf \mu(A)$，$\mu^{\vee}: CL(X) \to [0, \infty]$ 为 $\mu^{\vee}(A) = \sup_{x \in A} \mu(x) = \sup \mu(A)$。
• 维托里斯拓扑 ：
  • 上维托里斯拓扑 $T_v^+$：在 $CL(X)$ 上，其闭集基为 ${F^- | F \in CL(X)}$。
  • 下维托里斯拓扑 $T_v^-$：在 $CL(X)$ 上，其闭集子基为 ${F^+ | F \in CL(X)}$。
  • 维托里斯拓扑 $T_v$：$T_v = T_v^- \vee T_v^+$。