22、概率论中的逼近理论与一维索引中心极限定理

概率论中的逼近理论与一维索引中心极限定理

1. Prokhorov定理相关内容

在概率测度的研究中，Prokhorov定理是一个重要的结果。设$\Gamma$是弱相对序列紧的，根据相关结论可知$\chi_{w}^{rsc}(\Gamma) = 0$，并且$\chi_{w}^{t}(\Gamma) = 0$，由此可以推出$\Gamma$是紧的。反之，如果$\Gamma$是紧的，那么$\chi_{w}^{t}(\Gamma) = 0$，进而$\chi_{\rho}^{rsc}(\Gamma) = 0$，结合相关条件能得出$\Gamma$是弱相对序列紧的。

对于存在一个相对紧的开集序列$(U_n) n$且该序列递增到$S$的情况，对于$\Gamma \subseteq P(S)$，有$\chi {w}^{t}(\Gamma) = \chi_{w}^{rsc}(\Gamma) = \chi_{s}^{t}(\Gamma)$。在欧几里得空间中，对于$\Gamma \subseteq P(R^d)$，同样有$\chi_{w}^{t}(\Gamma) = \chi_{w}^{rsc}(\Gamma) = \chi_{s}^{t}(\Gamma)$。

下面用表格总结相关结论：
| 条件 | 结论 |
| ---- | ---- |
| $\Gamma$弱相对序列紧 | $\chi_{w}^{rsc}(\Gamma) = 0$，$\chi_{w}^{t}(\Gamma) = 0$，$\Gamma$是紧的 |
| $\Gamma$是紧的 | $\chi_{w}^{t}(\Gamma) = 0$，$\chi_{\rho}^{rsc}(\Ga