9、逼近不变量与分离性质研究

逼近不变量与分离性质研究

1. 弱伴随性

1.1 弱伴随性的定义与基本性质

在逼近空间中，拓扑反射和度量反射通常不能完全确定空间的结构。但在特定子空间的适当条件下，这两种反射可以完全决定空间结构，这种条件就是弱伴随性。

对于拟度量空间((X, d))，若伴随拟度量生成的拓扑比原拟度量生成的拓扑更粗，即(T_{d^{-}} \subseteq T_d)，则称该空间及其拟度量是弱伴随的。

若((X, d))是弱伴随拟度量空间，则其基础拓扑是可度量化的。证明如下：
因为(T_{d^ } = T_d \vee T_{d^{-}} = T_d)，所以(d^ )是基础拓扑的度量。

1.2 相关引理与命题

• 引理 ：若((X, d))是拟度量空间，(x \in X)且(B \subseteq X)，则(\sup_{z \in B} d(x, z) = \sup_{z \in cl_{T_{d^{-}}} B} d(x, z))。
  证明过程：设(\varepsilon > 0)，对于任意(z \in cl_{T_{d^{-}}} B)，存在(y_z \in B)使得(d^{-}(z, y_z) < \varepsilon)。则有：
  (\sup_{z \in cl_{T_{d^{-}}} B} d(x, z) \leq \sup_{z \in cl_{T_{d^{-}}} B} (d(x, y_z) + d(y_z, z)) \leq \sup_{z \in cl_{T_{d^{-}}} B} d(x, y_z) +